关于不变1-张量积分对任意体积均为0的疑问

嘿，我来帮你把这个逻辑捋明白，你不是一个人有这个困惑～

首先得补上David Tong没明说的关键前提：这里的$\rho(r)$是球对称的标量函数——也就是说它只和到原点的距离$r$有关，和方向无关。这是整个推导的核心，没这个前提结论根本不成立。

接下来拆解他的逻辑：

• $T_i = \int_V \rho(r)x_i dV$是一个1-张量（也就是矢量）。对于球对称的$\rho(r)$，如果我们考虑旋转不变的体积$V$（比如原文里的球体，或者任何绕原点旋转后和自身完全重合的体积），那么这个矢量$T_i$必须是旋转不变的——意思是不管你怎么绕原点旋转坐标系，$T_i$的分量都不会变。
• 但问题来了：三维空间里不存在非零的旋转不变矢量。你想啊，假设$T_i$是非零矢量，比如它沿着x轴，那我绕y轴转90度，它就会转到z轴方向，分量肯定变了，这就和“旋转不变”矛盾了。所以唯一满足旋转不变的矢量只能是零矢量，因此$T_i=0$。

那你的疑问点“是不是任意体积都成立？”答案是不是。举个简单例子：如果$V$是第一卦限里的一个小立方体（所有坐标$x,y,z>0$），$\rho(r)=1$（球对称），那$T_x = \int_V x dV$肯定是正数，不可能为0——这时候体积$V$不是旋转不变的，所以$T_i$不需要满足旋转不变，自然也不用是零矢量。

David Tong的例子里特意用了球体（旋转不变体积），他的推导是针对这类体积的。原文里没明确提体积的旋转不变性，可能是默认读者能联想到这一点，毕竟他讲的是“不变积分”，这里的“不变”就是指积分在旋转操作下的性质～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vueenx