关于不可压缩流体涡量方程中∇²ω⃗是否为零的疑问

嘿，我完全get到你的困惑点了——咱们一步步把这个逻辑理清楚：

首先，你的计算完全正确：因为$\Omega$只是时间$t$的函数，和空间坐标$x,y,z$都没关系，所以对空间坐标求二阶偏导的拉普拉斯算子作用在$\vec{\omega}=(0,0,2\Omega)$上，结果确实是$\vec{0}$。那为什么手册的推导还能得出“$\Omega$随时间变化则流体必粘性”的结论呢？问题出在对涡量方程的逻辑解读上，咱们拆解来看：

已知代入各项后，涡量方程简化为：
$$\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} = \nu\nabla^2\vec{\omega}$$

你纠结的是右边$\nabla^2\vec{\omega}=\vec{0}$，那右边就是$\nu\times\vec{0}$，看起来等式左边也得是0？但这里要换个反证的思路：

• 假设流体是无粘的，也就是$\nu=0$，那不管$\nabla^2\vec{\omega}$是什么，右边都等于$\vec{0}$，这就要求左边$\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}=\vec{0}$——也就是$\Omega$必须是常数。
• 但题目明确说$\Omega$不是时间常数，也就是$\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}\neq\vec{0}$，这就和“无粘”的假设矛盾了。

换句话说，手册的推导是省略了反证的中间步骤：既然$\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}\neq0$，如果$\nu=0$，等式右边就是0，等式根本不成立；只有当$\nu\neq0$时，这个等式才有可能成立（哪怕右边是$\nu\times0$，核心逻辑是“无粘情况下等式必然不成立”，所以流体必须是粘性的）。

再直白点说：你的拉普拉斯计算没错，但这不妨碍我们用涡量方程做反证——无粘流体的涡量必须不随时间变化，而题目里涡量随时间变了，所以流体肯定有粘性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mjc