连续函数水平缩放对曲线下面积的影响探究

嘿，你的直觉完全靠谱！我来帮你把这个结论用严谨的推导理清楚，再补几个实际例子帮你巩固理解～

定义域的变化验证 #

首先你观察到的定义域变化是对的：当我们把连续函数$f(x)$水平拉伸$n$倍（也就是将函数替换为$f\left(\frac{x}{n}\right)$），原定义域$[a,b]$对应的那段曲线，拉伸后确实会覆盖$[n\times a, n\times b]$。
简单推导一下：要让拉伸后的函数里的自变量$\frac{x}{n}$落在原区间$[a,b]$，解不等式$a \leq \frac{x}{n} \leq b$，两边乘$n$（假设$n>0$，缩放因子一般是正数）就得到$na \leq x \leq nb$，完全符合你的观察。

面积变化的严谨证明 #

接下来用积分来验证面积变为原来的$n$倍：

• 原区间$[a,b]$下的面积：$S_{\text{原}} = \int_{a}^{b} f(x) dx$
• 拉伸后的函数为$g(x) = f\left(\frac{x}{n}\right)$，对应区间$[na, nb]$的面积：$S_{\text{拉伸}} = \int_{na}^{nb} f\left(\frac{x}{n}\right) dx$

我们做变量替换：令$t = \frac{x}{n}$，那么$x = nt$，微分$dx = n dt$。当$x=na$时，$t=a$；当$x=nb$时，$t=b$。把这些代入拉伸后的积分：
$$
S_{\text{拉伸}} = \int_{a}^{b} f(t) \times n dt = n \times \int_{a}^{b} f(t) dt = n \times S_{\text{原}}
$$
完美！这就从数学上证明了你的结论：水平拉伸$n$倍后，对应段的面积是原来的$n$倍。

实际例子验证 #

举两个简单例子帮你直观感受：

• 例子1：一次函数
  原函数$f(x)=x$，在$[0,2]$的面积是$\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
  水平拉伸2倍后得到$g(x)=\frac{x}{2}$，对应区间$[0,4]$，面积是$\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$，正好是原面积的2倍。
• 例子2：三角函数
  原函数$f(x)=\sin x$，在$[0,\pi]$的面积是$\int_{0}^{\pi}\sin x dx = 2$。
  水平拉伸2倍后得到$g(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$，对应区间$[0,2\pi]$，积分结果是$\int_{0}^{2\pi}\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = 4$，也是原面积的2倍。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hfdssdjns