半无限长一维区域非齐次诺依曼边界条件下扩散方程（激光加热场景）求解咨询

我现在要解决一个激光加热半无限长杆末端的问题，目标是计算温度随时间的变化规律，初始时整个杆的温度都是$0$。

目前我梳理出的问题设定如下：

• 控制方程：$u_t - Du_{xx} = Q$（其中$Q$是激光在$x=0$处施加的恒定热流），求解域为半无限一维区域（$x \geq 0$）。
• 边界条件：$u_x(x=0,t) = q$，也就是在$x=0$处是一个非齐次（非零）的诺依曼边界，热流密度恒定为$q$。
• 初始条件：$u(x,t=0) = 0$。

现在有几个疑问想请教大家：

1. 边界条件是否完整？ #

我是不是漏掉了某个边界条件？能不能假设当$x \to \infty$时，$u(x,t) = 0$？

2. 非齐次边界的转化思路是否可行？ #

我目前的想法是把非齐次边界条件转化为齐次的，然后构造解的形式为$v = w + u$——其中一个函数对应齐次问题的解，另一个用来满足边界条件。这个思路是正确的吗？

3. 格林函数法的具体实现困惑 #

更通用的解法应该是找到这个问题对应的格林函数，但我不清楚该怎么找到正确的格林函数，以及如何推导解$u(x,t)$的积分表达式。我原本想尝试镜像法，把源放在$x=0$处，但遇到了瓶颈：因为是非零诺依曼边界，而且之前做的案例都是源在$x>0$的位置，镜像法的逻辑很清晰，但源在$x=0$的话我就没什么直观的思路了。

有没有大佬能给点思路或者建议？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者foretold