关于泰勒级数二阶展开系数及光滑函数一般展开的疑问

嘿，这个问题问得特别到位——不少人第一次手动推导泰勒展开时，都会被这个突然冒出来的1/2!搞懵，我来给你一步步拆解清楚～

首先看你提到的二阶展开的极限：
$$\beta = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a) - f'(a)h}{h^2}$$

因为你已经限定了$f \in C^2(\mathbb{R})$，也就是$f$二阶连续可导，那咱们可以用洛必达法则来算这个极限（分子分母在$h\to0$时都趋于0，满足洛必达的条件）：

• 对分子求导：$\frac{d}{dh}[f(a+h)-f(a)-f'(a)h] = f'(a+h) - f'(a)$
• 对分母求导：$\frac{d}{dh}[h^2] = 2h$

这时候极限就变成了：
$$\beta = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{2h}$$

而根据二阶导数的定义，$f''(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h}$，把这个代入上面的式子，就能直接得到：
$$\beta = \frac{1}{2}f''(a) = \frac{f''(a)}{2!}$$

这就是1/2!的由来啦——它其实是洛必达法则求导后，分母多出的系数2的倒数，而2!刚好等于2，写成阶乘的形式是为了和更高阶的展开保持统一规律。

再来说你问的一般情况：如果$f$是足够光滑的（比如$f \in C^{n(\mathbb{R})$，也就是$n$阶连续可导），那么$n$阶泰勒展开的系数$\frac{f}{(n)}(a)}{n!}$是完全成立的，对应的极限也一定存在。

咱们可以用归纳法来理解：

• 一阶展开系数是$f'(a)/1!$，完全符合导数定义；
• 假设$k$阶展开的系数是$f^{{(k)}(a)/k!$，那么推导$k+1$阶时，对对应的极限用洛必达法则，分子求导后会得到$f}{(k)}(a+h)-f^{{(k)}(a)$，分母求导后会得到$(k+1)h}k$，再结合$k+1$阶导数的定义，就能得到系数是$f^{(k+1)}(a)/(k+1)!$。

简单来说，每多推一阶，洛必达法则就会在分母上多乘一个当前的阶数，累积下来就是$n!$的倒数，这也是泰勒展开系数统一写成$\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$的核心原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nyan