关于用「开覆盖有勒贝格数+全有界」定义证明紧度量空间连续像紧性的疑问

我最近在做一道度量空间紧性的证明题，遇到了卡壳的地方，想请教各位大佬。题目是这样的：

设$X,Y$是度量空间，$X$是紧的，$f:X\rightarrow Y$是连续函数，证明$f(X)\subseteq Y$是紧的。

用序列紧或者经典的开覆盖定义来证明这个结论其实挺直接的，但现在要求用另一种等价的紧性定义来证：度量空间$X$是紧的当且仅当$X$的每个开覆盖都存在勒贝格数，且$X$是全有界的。

我已经完成了证明$f(X)$全有界的部分，思路如下：

• 任取$\varepsilon>0$，构造$f(X)$的开覆盖$\mathcal{O} = {B_{\varepsilon}(f(x)) \mid x \in X}$
• 由于$f$是连续函数，$\tilde{\mathcal{O}} = {f^{-1}\left( B_{\varepsilon}(f(x)) \right)\mid x \in X}$构成了$X$的一个开覆盖
• 因为$X$是紧的，所以$\tilde{\mathcal{O}}$存在有限子覆盖$\tilde{\mathcal{U}} = { f^{-1}\left( B_{\varepsilon}(f(x_1)) \right), \dots, f^{-1}\left( B_{\varepsilon}(f(x_n)) \right) }$
• 对应的$\mathcal{U} = { B_{\varepsilon}(f(x_1)) , \dots, B_{\varepsilon}(f(x_n)) }$就是$f(X)$的有限$\varepsilon$-覆盖，由$\varepsilon$的任意性可知$f(X)$是全有界的。

现在我卡在了如何证明**$f(X)$的每个开覆盖都有勒贝格数**这一步，有没有大佬能给我指点一下思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1164922