关于有序域中集合$\lbrace x\in {\mathbb Q}: x^2<2\rbrace$上界性质的证明问询
嗨，我来帮你搞定这个有序域里的证明问题，思路其实挺清晰的，咱们一步步来：
首先明确前提：我们讨论的是包含有理数$\mathbb{Q}$的有序域$F$，而且不假设完备性公理——这意味着整数在$F$里可能是有界的（毕竟阿基米德性质是完备性的推论，连有理数的稠密性都没法直接用）。
我们的目标集合是 $S = \lbrace x\in \mathbb{Q}: x^2 < 2\rbrace$，要证明的结论是：如果$M\in F$是$S$的任意一个上界，那么$M^2 \geq 2$。
证明思路：反证法
咱们用反证法来推导，核心是找出矛盾：
- 假设结论不成立：存在某个上界$M\in F$，使得$M^2 < 2$。
- 先排除$M$是负数的情况：如果$M<0$，那$1\in S$（因为$1^2=1<2$），而$1>M$，这就和$M$是$S$的上界矛盾了，所以$M$必然是非负的，即$M\geq0$。
- 接下来构造一个有理数$q\in \mathbb{Q}$，满足两个条件：$q>M$ 且 $q^2<2$——这样$q\in S$但$q>M$，直接和$M$是$S$的上界矛盾。
构造符合要求的有理数$q$
因为$M^2<2$，令$\epsilon = 2 - M^2 > 0$，我们要找正有理数$d$，使得$q = M + d$满足$(M+d)^2 < 2$。
展开平方项：
$$(M+d)^2 = M^2 + 2Md + d^2$$
我们需要这个式子小于2，也就是$2Md + d^2 < \epsilon$。
先限制$d<1$（正有理数里找小于1的数很容易），这时候$d^2 < d$，所以不等式可以放宽为：
$$2Md + d < \epsilon$$
整理一下就是：
$$d(2M + 1) < \epsilon$$
因为$M\geq0$，所以$2M+1\geq1>0$，$\epsilon>0$。而$\mathbb{Q}$本身是阿基米德有序域，所以一定存在正有理数$d$，使得$d < \frac{\epsilon}{2M+1}$。这样的$d$满足：
$$2Md + d^2 < 2Md + d = d(2M+1) < \epsilon$$
代入$q=M+d$，就有：
$$q^2 = M^2 + (2Md + d^2) < M^2 + \epsilon = 2$$
同时$q=M+d>M$，且$q\in \mathbb{Q}$，所以$q\in S$。
这就出现了矛盾：$q$属于$S$却比上界$M$大，说明我们最开始的假设（$M^2<2$）不成立。
结论
因此，所有$S$的上界$M\in F$都必须满足$M^2\geq2$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math101
