关于求解以u、v表示的x、y及计算雅可比矩阵的技术问询

嘿，我来帮你把这个问题捋明白！你已经靠逆矩阵的思路算出雅可比矩阵的结果了，但卡在了解用u、v表示x和y这一步对吧？其实这就是个超简单的二元线性方程组求解，咱们一步步来：

第一步：用u、v表示x和y #

已知两个方程：
$$u = x + y$$
$$v = x - y$$

咱们用消元法来解这个方程组：

• 把两个方程相加：$u + v = (x + y) + (x - y)$，化简后左边是$u+v$，右边的$y$抵消后剩下$2x$，所以直接得到 $x = \frac{u + v}{2}$
• 把两个方程相减：$u - v = (x + y) - (x - y)$，化简后左边是$u-v$，右边的$x$抵消后剩下$2y$，所以得到 $y = \frac{u - v}{2}$

第二步：验证雅可比矩阵（两种方法） #

你之前用的是雅可比矩阵的逆矩阵性质：
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} \times \frac{\partial (u,v)}{\partial(x,y)} = 1$$
算出$\frac{\partial (u,v)}{\partial(x,y)} = -2$后，得到$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = -\frac{1}{2}$，这个结果完全正确！

咱们也可以用直接求偏导计算行列式的方法来验证：
雅可比矩阵$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}$是由x、y对u、v的偏导构成的矩阵：
$$
\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{pmatrix}
$$
代入咱们刚求出的x和y的表达式：

• $\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2}$，$\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2}$
• $\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2}$，$\frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{1}{2}$

计算这个矩阵的行列式：
$$\left(\frac{1}{2} \times -\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$$
和你之前的结果完全一致，说明咱们的计算没问题！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SirMrpirateroberts