寻求在状态空间闭包内具有稠密轨迹的动力系统示例

当然存在这样的动力系统啦！最经典也最直观的例子就是环面上的无理平移流，完全符合你提出的条件，我给你详细拆解一下：

• 首先确定状态空间：取$U = (0,1) \times (0,1) \subset \mathbb{R}^2$，这是一个开且连通的集合，它的闭包$\overline{U} = [0,1] \times [0,1]$。我们可以把这个闭包看作二维环面$\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2$（简单来说就是把正方形的左右边界、上下边界分别粘合起来）。
• 定义$\mathcal{C}^1$向量场：设$\alpha$是一个无理数（比如$\sqrt{2}$或者$\pi$），定义向量场$F(x,y) = (1, \alpha)$，对应的动力系统为：
  $$\dot{x} = 1, \quad \dot{y} = \alpha$$
• 分析轨迹的稠密性：这个系统的解为$\mathbf{x}(t) = (x_0 + t \mod 1, y_0 + \alpha t \mod 1)$，其中$\mathbf{x}0 = (x_0,y_0) \in U$。由于$\alpha$是无理数，$\alpha t \mod 1$会随着$t$遍历所有实数而在$[0,1]$中稠密，结合$t \mod 1$的遍历性，整个轨迹$\Gamma{\mathbf{x}0}$会无限接近$\overline{U}$中的每一个点，也就是$\overline{\Gamma{\mathbf{x}_0}} = \overline{U}$，完全满足你要求的稠密性条件。

如果你想要更高维的例子，也可以推广到$n$维环面：取$U=(0,1)^n \subset \mathbb{R}^n$，选择一个在有理数域上线性无关的向量$\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$（比如每个$\alpha_i$都是两两无理相关的数），定义向量场$F(\mathbf{x}) = (1, \alpha_1, ..., \alpha_{n-1})$，对应的轨迹同样会在$\overline{U} = [0,1]^n$中稠密。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NicAG