25阶循环群自同构阶数的证明困惑求助

大家好，我最近在做一道群论证明题时卡住了，不确定自己的思路是否正确，想向大家请教一下：

设$G$是25阶循环群，证明：对任意$\phi \in {\rm Aut}(G)$，都有$|\phi| \neq 3$。

我目前尝试用反证法来推进，假设存在$\phi \in {\rm Aut}(G)$使得$|\phi|=3$，根据自同构阶的定义，这意味着对任意$g \in G$都有$\phi^3(g)=g$。

因为$G$是循环群，我先取它的一个生成元$g$，也就是$G=\langle g\rangle$。对于循环群的自同构来说，$\phi(g)$必然是$G$的另一个生成元，所以可以表示为$\phi(g)=g^\alpha$，其中$\alpha$是某个整数。

接下来我做了如下推导：
$$\begin{align}
g &= \phi^3(g) \
&=\phi^2(g\alpha) \
&=\phi(\phi(g) \cdot \phi(g) \cdot \dots \cdot \phi(g)) \quad \text{（共$\alpha$个$\phi(g)$相乘）} \
&= \phi(g^\alpha \cdot g^\alpha \cdot \dots \cdot g^\alpha) \quad \text{（共$\alpha$个$g^\alpha$相乘）} \
&= \phi(g^{\alpha2})\
& = g^{\alpha3},
\end{align}$$
由此可以得到$g = g^{\alpha3}$。

因为$G=\langle g\rangle$，所以$g$的阶是25，到这一步我就不知道该怎么继续推导来找到矛盾了，有没有大佬能帮我梳理一下后续的思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathStudent101