利用黎曼积分近似求解特定类型递推式的渐近性

各位好！我之前见过一种用黎曼积分估计递推式渐近性的技巧，但现在既找不到当初的出处，也记不全完整推导了，想请大家帮忙梳理或者提供相关参考~

先说明问题场景：我们有如下形式的递推关系：
$$a_n=a_{n-1}+\frac{f(n)}{g(a_{n-1})}$$
其中$g$是递增的正函数，$f$也是正函数（通常是简单的恒等函数或常数），目标是求$a_n$的渐近表达式。

目前我能回忆起来的推导步骤是这样的：

• 把递推式变形为：
  $$g(a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=f(n)$$
• 从$n=1$到$N$对两边求和，得到：
  $$\sum_{n=1}^N g(a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=\sum_{n=1}^N f(n)$$
• 左边的和看起来像黎曼和，因为$g$是递增的正函数，这个和是$g(x)$在$[a_0,a_N]$上的左黎曼和，因此它小于等于对应的定积分。如果令$G(x)$是$g(x)$的原函数（即$\frac{d}{dx}G(x)=g(x)$），则有：
  $$G(a_N)-G(a_0)\geq \sum_{n=1}^N f(n)$$
• 整理后就能得到$a_N$的下界：
  $$G(a_N)\geq G(a_0)+\sum_{n=1}^N f(n)$$
  $$a_N\geq G^{{-1}\left(G(a_0)+\sum_{n=1}}N f(n)\right)$$

但到这里我就卡壳了——要确定$a_N$的渐近性，我们还需要对应的上界，但用同样的左黎曼和思路没法直接得到上界的估计。

我现在有两个疑问想请教大家：

• 有没有人知道这种技巧的相关资料或者原始出处？我实在想不起来当初在哪里看到的了
• 有没有办法用类似的思路推导出$a_N$的上界，从而完整得到它的渐近行为？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alan Abraham