关于SU(N)生成元迹表达式中求和项的进一步化简问询

各位同行好，我目前正在处理SU(N)生成元相关的迹运算化简问题，先把用到的生成元核心性质整理出来：

• 正交归一性：$$\text{Trace}[T^a T^b] = \frac{1}{2}\delta^{ab} \tag{i}$$
• 无迹性：$$\text{Trace}[T^a] = 0 \tag{ii}$$

生成元的乘积可以展开为：
$$T^a T^b = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{N}\delta^{ab}I + (d_{abc} + if_{abc})T^c \right)$$
注：重复指标默认隐含求和

其中对称结构常数$d_{abc}$和全反对称结构常数$f_{abc}$的定义如下：
$$d_{abc} = 2\text{Trace}\left[ {T^a, T^b}Tc \right], \quad f_{abc} = 2i\text{Trace}\left[ [T^a, T^b]Tc \right]$$

我的化简过程 #

我想要化简的目标表达式是：$\text{Trace}[T^a T^b (T^{N2-1})^2]$，具体步骤如下：

1. 首先对$T^a T^b$应用上述乘积展开式：
   $$
   \text{Trace}[T^a T^b (T^{N2-1})^2] = \text{Trace}\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{N}\delta^{ab}I + (d_{abc} + if_{abc})T^c \right)(T^{N2-1})^2 \right]
   $$

2. 拆分迹运算并分别处理两项：
   $$
   = \frac{1}{2}\text{Trace}\left[ \frac{1}{N}\delta^{ab}(T{N^2-1})2 \right] + \frac{1}{2}\text{Trace}\left[ (d_{abc} + if_{abc})T^c(T{N^2-1})2 \right]
   $$

3. 利用性质(i)计算第一项，对第二项再次应用生成元乘积公式：
   $$
   = \frac{1}{4N}\delta^{ab} + \frac{1}{4}\text{Trace}\left[ (d_{abc} + if_{abc})\left( \frac{1}{N}\delta^{c,N2-1}I + (d_{c,N^2-1,e} + if_{c,N^2-1,e})Te \right)T^{N2-1} \right]
   $$

4. 再次应用性质(i)(ii)，并结合$f_{abc}$的全反对称性消去部分项后，最终得到：
   $$
   = \frac{1}{4N}\delta^{ab} + \frac{1}{8}(d_{abc} + if_{abc})d_{c,N^2-1,N2-1}
   $$

我的问题 #

现在我卡在了最后一步：这个表达式中对指标$c$的求和项，还能进一步化简吗？比如能不能利用$d_{abc}$的对称性或者SU(N)的其他结构性质来简化这个求和？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MSHD