关于利用Schwartz类表示函数p范数的证明求助
你已经走对了方向！我们只需要把你找到的逼近序列好好利用起来，补全后半部分的不等式证明就行。
首先明确目标：我们要证 $\sup A_1 \geq \sup A_2$，也就是对任意 $g \in \mathcal{L}{p'}(\mathbb{R}n)$ 满足 $|g|{p'}=1$，都有 $|\int{\mathbb{R}^n}fg| \leq \sup A_1$。
按照你的思路，取Schwartz类中的序列 ${g_k}$ 满足 $|g_k - g|_{p'} \to 0$，这里补充一个关键细节：
- 由范数的三角不等式，$||g_k|{p'} - |g|{p'}| \leq |g_k - g|{p'} \to 0$，而 $|g|{p'}=1$，因此当 $k$ 足够大时，$|g_k|{p'} > 0$（比如大于 $1/2$），这时候我们可以对 $g_k$ 做归一化处理：
$$h_k = \frac{g_k}{|g_k|{p'}}$$
显然 $h_k \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$，且 $|h_k|{p'}=1$，所以 $|\int{\mathbb{R}^n}fh_k| \leq \sup A_1$。
接下来用三角不等式拆分目标积分：
$$|\int_{\mathbb{R}^n}fg| = |\int_{\mathbb{R}^n}f(g - g_k) + \int_{\mathbb{R}^n}fg_k| \leq |\int_{\mathbb{R}^n}f(g - g_k)| + |\int_{\mathbb{R}^n}fg_k|$$
对两部分分别处理：
- 第一项的估计：用Holder不等式可得
$$|\int_{\mathbb{R}^n}f(g - g_k)| \leq |f|p \cdot |g - g_k|{p'}$$
因为 $|g - g_k|_{p'} \to 0$，所以对任意 $\varepsilon > 0$，存在足够大的 $k$，使得这一项小于 $\varepsilon/2$。 - 第二项的关联：把它和归一化后的 $h_k$ 结合：
$$|\int_{\mathbb{R}^n}fg_k| = |g_k|{p'} \cdot |\int{\mathbb{R}^n}fh_k| \leq |g_k|{p'} \cdot \sup A_1$$
又因为 $|g_k|{p'} \to 1$，所以当 $k$ 足够大时，$|g_k|_{p'} \cdot \sup A_1 > \sup A_1 - \varepsilon/2$。
把这两部分结果代入拆分后的不等式，当 $k$ 足够大时：
$$|\int_{\mathbb{R}^n}fg| < \frac{\varepsilon}{2} + \sup A_1 - \frac{\varepsilon}{2} = \sup A_1 + \varepsilon$$
由于 $\varepsilon$ 是任意正数，因此 $|\int_{\mathbb{R}^n}fg| \leq \sup A_1$。
这样就证明了 $\sup A_2 \leq \sup A_1$，结合你已经得到的 $\sup A_1 \leq \sup A_2$，可得 $\sup A_1 = \sup A_2 = |f|_p$，也就是我们要证的 $(\ast)$ 式。
另外，还有一个更直接的思路：
我们知道存在对偶极值函数 $g_0 = \frac{\text{sign}(f)|f|{p-1}}{|f|_p{p-1}}$，它满足 $|g_0|{p'}=1$ 且 $\int{\mathbb{R}^n}fg_0 = |f|p$。用Schwartz函数逼近 $g_0$ 得到 ${g_k} \subset \mathcal{S}$，$|g_k - g_0|{p'} \to 0$，归一化后得到 $h_k = g_k/|g_k|{p'}$，那么 $\int{\mathbb{R}^n}fh_k \to \int_{\mathbb{R}^n}fg_0 = |f|_p$，这说明 $\sup A_1 \geq |f|_p$，而 $\sup A_1 \leq \sup A_2 = |f|_p$，直接得到等式。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者kcal
