关于内积空间上对称（symmetric）但不自伴（selfadjoint）算子的实例问询

嘿，这个问题问得很关键！先帮你理清对称算子和自伴算子的核心差异：对称算子只需要对定义域内的所有x、y满足$\langle Tx, y \rangle = \langle x, Ty \rangle$；但自伴算子不仅要满足这个等式，还得要求算子的定义域和它的伴随算子$T^*$的定义域完全相等——这就是很多对称算子卡壳的地方，差就差在定义域这一环。

给你几个经典的实例，都是学界常用的例子：

• 区间上的微分算子
  拿希尔伯特空间$L^2[0,1]$来说，定义算子$T$：

  • 定义域$\mathcal{D}(T)$：所有在$[0,1]$上二阶连续可导，且满足边界条件$f(0)=f(1)=0$的函数$f \in L^2[0,1]$
  • 算子作用：$Tf = -f''$
    为什么对称？对任意$f,g \in \mathcal{D}(T)$，用分部积分法算内积：$\langle Tf, g \rangle = \int_0^1 (-f'')\overline{g} dx$，分部两次后就能得到$\int_0^1 f\overline{(-g'')} dx = \langle f, Tg \rangle$，完全符合对称的定义。
    为什么不自伴？因为它的伴随算子$T^{*$的定义域比$\mathcal{D}(T)$大得多——$T}$的定义域包含那些仅一阶可导、边界条件更宽松的函数，$\mathcal{D}(T)$是$\mathcal{D}(T^)$的真子集，自然$T \neq T^*$。

• 序列空间里的“缩放”算子
  取平方可和序列空间$l^2$，定义算子$T$：

  • 定义域$\mathcal{D}(T)$：所有有限支撑的序列（也就是只有有限个非零元素的序列，比如$(1,2,0,0,\dots)$这种）
  • 算子作用：对序列$x=(x_1,x_2,x_3,\dots)$，$Tx=(1x_1,2x_2,3x_3,\dots)$
    对称很好验证：对任意两个有限支撑序列$x,y$，内积$\langle Tx,y \rangle = \sum_{n=1}^\infty n x_n \overline{y_n}$，反过来就是$\sum_{n=1}^\infty x_n \overline{n y_n} = \langle x, Ty \rangle$，完全相等。
    但它不是自伴的：伴随算子$T^{*$的定义域是所有满足$\sum_{n=1}}\infty n^2 |y_n|^2 < \infty$的序列，这个集合比有限支撑序列大太多了——比如序列$(1,1/2,1/3,\dots)$就属于$\mathcal{D}(T^*)$但不属于$\mathcal{D}(T)$，因为它的支撑是无限的。定义域不相等，所以$T$不是自伴算子。

• 半无限区间的微分算子
  再看$L^2[0,\infty)$这个空间，定义算子$Tf = -f''$，定义域$\mathcal{D}(T)$是所有在$[0,\infty)$上二阶连续可导，且满足$f(0)=0$、$\lim_{x \to \infty} f(x)=0$的函数。
  这个算子同样是对称的，但它的伴随算子$T^*$的定义域包含那些不满足$\lim_{x \to \infty} f(x)=0$的函数，所以定义域不匹配，没法成为自伴算子。

说白了，这类算子的共性就是定义域太小了，伴随算子能接纳更多元素，导致原算子和伴随算子没法完全重合，只能停留在对称的阶段。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marko