三元非负变量约束下分式和的最大值求解及后续不等式证明求助

已知非负变量 (x,y,z \ge 0) 满足约束条件 (xy + yz + zx = 1)，求分式和的最大值：
$$T={\frac {1-2yz}{3,{y}^{2}+3,{z}{2}+{x}^{2}}}+{\frac {1-2zx}{3,{z}^{2}+3,{x}{2}+{y}^{2}}}+{\frac {1-2xy}{3,{x}^{2}+3,{y}{2}+{z}^{2}}}$$

我猜测最大值是 (\dfrac{3}{7})，当 (x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}) 时取得。

我尝试用柯西不等式处理：
$$\frac{6-12yz}{3\cdot2(x^2+y2+z^2)+2\cdot3(y2+z^2)}\le \frac{6-12yz}{25}\left(\frac{3}{2(x^2+y2+z^{2)}+\frac{2}{3(y}2+z^2)}\right)$$

现在剩下需要证明的不等式是：
$$\frac{9}{25(x^2+y2+z^{2)}+\frac{4}{25}\sum_{cyc}\frac{1-2yz}{y}2+z^2}\le \dfrac{3}{7}$$

但我不知道该怎么证明这个最后的不等式，能不能给我一个思路来解决它？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1071608