Borel-Cantelli引理相关习题的解法验证及疑问

嘿，我来帮你拆解这个解法的问题，还有你提到的特殊情况~

原解法的核心问题 #

你的思路方向是对的——用Borel-Cantelli引理来证明$\limsup{|X_n|/l_n ≥ \epsilon}$的概率为0，但原解法里选择$l_n$的步骤存在漏洞：

你用了Markov不等式推导$P(|l_n X_n| ≥ 1/n) ≤ l_n E[|X_n|] n$，但这里默认了$E[|X_n|]$是有限的！可题目里明确说$(X_n)$是任意随机变量序列，并没有要求它们可积（即期望有限）。如果某个$X_n$的$E[|X_n|] = +∞$，你给出的$l_n ≤ 1/(E[X_n]n^3)$就完全没有意义，因为分母是无穷大，没法得到正的$l_n$。

正确的选$l_n$的方式应该避开期望，利用随机变量概率测度的连续性：对每个固定的$n$，当$t→+∞$时，$P(|X_n| ≥ t) → 0$。所以我们总能找到一个足够大的正实数$l_n$，使得$P(|X_n| ≥ l_n / n) ≤ 1/n²$，也就是$P(|X_n|/l_n ≥ 1/n) ≤ 1/n²$。这一步不需要依赖期望，只需要随机变量的基本性质，这样就能保证对所有随机变量（哪怕不可积）都能找到这样的$l_n$。

后续的Borel-Cantelli推导是没问题的：对任意$\epsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时$1/n < \epsilon$，所以$P(|X_n|/l_n ≥ \epsilon) ≤ P(|X_n|/l_n ≥ 1/n) ≤ 1/n²$，而$\sum 1/n²$收敛，由第一Borel-Cantelli引理得$P(\limsup |X_n|/l_n ≥ \epsilon)=0$，再让$\epsilon→0$就得到$P(\lim X_n/l_n=0)=1$。

关于$X_n ≡ +∞$的特殊情况 #

你提的这个反例非常关键！如果$X_n$恒等于$+∞$，那不管选什么样的正序列$l_n$，$X_n/l_n$都恒等于$+∞$，所以$\lim_{n→∞} X_n/l_n = +∞$，这时候$P(\lim X_n/l_n=0)=P(∅)=0$，完全不满足题目的结论。

这说明题目里的“任意随机变量序列”应该是实值随机变量（即取值在$\mathbb{R}$中，不允许取$\pm∞$），或者隐含了$X_n$是几乎处处有限的随机变量。如果允许取无穷值，那这个结论就不成立，你的疑问是完全合理的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者a.s. graduate student