条件ab+bc+ca=abc+2下的根式不等式证明思路问询

我最近碰到这么个不等式证明题，想请大家给点思路：

已知非负实数(a,b,c)满足(ab+bc+ca=abc+2)，求证：
$$\frac{1}{\sqrt{4a+4b+1}}+\frac{1}{\sqrt{4c+4b+1}}+\frac{1}{\sqrt{4a+4c+1}}\ge 1.$$

我一开始试着用柯西不等式（C-S）来推导：
$$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{4a+4b+1}}\ge \frac{9}{\sum_{cyc}\sqrt{4a+4b+1}}\ge 1.$$
本来想着只要证明后面这个链式不等式的后半段就行，结果发现要证的(\sqrt{4a+4b+1}+\sqrt{4c+4b+1}+\sqrt{4a+4c+1}\le 9)其实是不成立的，这个方向直接走死了。

我感觉Holder不等式可能有用，但试了半天没找到合适的构造方式，有没有大佬能给点启发呀？非常感谢大家的关注！

更新：我刚发现这个不等式的等号成立情况，除了(a=b=c=1)之外，还有(a=b=0)的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1205829