基于三角形内角与外心极坐标推导顶点笛卡尔坐标的疑问与公式验证求助

我最近在整理讲义笔记时遇到了一个关于三角形顶点坐标推导的问题，折腾了好久都没理清，希望能得到大家的帮助：

假设在$\mathbb{R}^2$平面中，三个点$0, p_1, p_2$构成三角形$T$，$p_1$与$p_2$的夹角为$\theta$，原点与$p_2$的夹角为$\varphi$；三角形$T$的外接圆圆心极坐标为$(r, \tau)$。笔记中给出$p_1, p_2$的笛卡尔坐标表达式为：
$$p_1 = -2r \big(\sin(\varphi) \cos(\tau+\varphi), \sin(\varphi) \sin(\tau+\varphi) \big)$$
$$p_2 = -2r \big(\sin(\theta + \varphi) \cos(\theta+\tau+\varphi), \sin(\theta+\varphi) \sin(\theta+\tau+\varphi) \big)$$

我先假设$r=1$简化计算（后续可通过缩放还原），但测试了一个特殊情况后，发现公式似乎存在问题：当$\theta=\varphi=\pi/3$，$\tau=0$，$r=1$时，$p_1$理应位于第一象限，坐标均为正值，可代入公式计算得到的结果却是$(-\sqrt{2}/3,-4/9)$，完全不符合预期，所以我怀疑笔记中的公式可能有误。

之后我自己尝试推导，绘制了辅助图并利用正弦定理，得到了一个参数化表达式：
$$p_1 = 2r\sin(\varphi)(\cos(\pi/2-\alpha+\tau),\sin(\pi/2-\alpha+\tau))$$
但这里的$\alpha$我希望能用$\theta, \varphi, r, \tau$这些已知量来表示。我用Geogebra做了几个锐角三角形的测试，看起来$\alpha = \varphi$，但始终找不到几何上的证明依据，不确定这个结论是否在锐角三角形中普遍成立。

我之前尝试用泰勒斯定理构造直角来推导，但始终搞不懂$\varphi + \tau$到底代表什么角度，也没法把它和点的坐标联系起来。有没有大佬能帮忙梳理下这个推导过程，或者验证我的猜想是否正确，或者指出原笔记公式的问题所在？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jacobiman