Gumbel随机变量线性变换后的分布求解

嘿，这个问题其实用分布函数法就能轻松搞定，我一步步给你理清楚：

首先，先明确已知条件：$X \sim \text{Gumbel}(0, \beta)$，它的累积分布函数（CDF）是：
$$F_X(x) = \exp\left(-\exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)\right)$$

现在我们要求$Y = \frac{1}{3}X$的分布，直接从CDF入手最直观：
$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P\left(\frac{1}{3}X \leq y\right) = P(X \leq 3y)$

把$3y$代入X的CDF里：
$$F_Y(y) = \exp\left(-\exp\left(-\frac{3y}{\beta}\right)\right) = \exp\left(-\exp\left(-\frac{y}{\beta/3}\right)\right)$$

现在对比标准Gumbel分布的CDF形式：$\text{Gumbel}(\mu, \gamma)$的CDF是$\exp\left(-\exp\left(-\frac{y-\mu}{\gamma}\right)\right)$

你看，我们得到的$F_Y(y)$里，$\mu=0$，$\gamma=\frac{\beta}{3}$，所以结论就是：

$Y \sim \text{Gumbel}\left(0, \frac{\beta}{3}\right)$

要是你想从概率密度函数（PDF）验证也没问题：X的PDF是$f_X(x) = \frac{1}{\beta}\exp\left(-\frac{x}{\beta} - \exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)\right)$，用变量替换法，$x=3y$，$dx=3dy$，代入后化简出来的PDF刚好就是$\text{Gumbel}(0, \beta/3)$的PDF，完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者capewindow