关于x→0时第一类贝塞尔函数与对数乘积的极限证明及第二类贝塞尔函数极限推导的技术求助

嘿，我来帮你梳理这个问题的解决思路，其实不用硬卡洛必达法则，从贝塞尔函数的级数/渐近展开入手会更直接，咱们一步步来：

第一步：证明$\lim_{x\to0} J_\nu(x)\ln(x)=0$（$\nu>0$） #

首先回忆第一类贝塞尔函数$J_\nu(x)$在$x\to0^+$时的渐近行为：
对于$\nu>0$，$J_\nu(x)$的泰勒展开式主导项（也就是当$x$趋近于0时最显著的项）是：
$$J_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^\nu$$
这里$\Gamma(\cdot)$是伽马函数，对固定的$\nu>0$来说是一个常数。

把这个主导项代入$J_\nu(x)\ln x$，我们只需要计算：
$$\lim_{x\to0^+} \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^\nu \ln x$$
提取常数后，问题转化为求经典极限$\lim_{x\to0^+} x^\nu \ln x$。你可以做变量替换$t=\frac{1}{x}$（此时$x\to0^+$对应$t\to+\infty$），把极限改写为：
$$\lim_{t\to+\infty} \frac{-\ln t}{t^\nu}$$
这时候用洛必达法则就很顺畅了：分子导数是$-\frac{1}{t}$，分母导数是$\nu t^{\nu-1}$，两者的比值为$-\frac{1}{\nu t^{\nu}$，当$t\to+\infty$时显然趋向0。因此$\lim_{x\to0}+} x^\nu \ln x=0$，进而$\lim_{x\to0} J_\nu(x)\ln(x)=0$得证。

第二步：推导$\lim_{x\to0} Y_\nu(x)= - \infty$ #

接下来看第二类贝塞尔函数$Y_\nu(x)$，分两种情况讨论：

情况1：$\nu>0$且不是整数 #

此时$Y_\nu(x)$的定义是：
$$Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$
而$J_{-\nu}(x)$在$x\to0^+$时的渐近主导项是：
$$J_{-\nu}(x) \sim \frac{1}{\Gamma(-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{-\nu}$$
结合伽马函数的余元公式$\Gamma(-\nu+1)\Gamma(\nu+1)=\frac{\pi}{\sin(\nu\pi)}$，代入后可以看到：当$x\to0^{+$时，$J_\nu(x)$是$x}\nu$阶的小量（趋向0），而$J_{-\nu}(x)$是$x^{-\nu}$阶的无穷大量（趋向$+\infty$），因此$Y_\nu(x)$的主导项来自$-J_{-\nu}(x)/\sin(\nu\pi)$，显然趋向$-\infty$。

情况2：$\nu$是正整数$n$ #

整数阶第二类贝塞尔函数的定义是极限形式$Y_n(x)=\lim_{\nu\to n} Y_\nu(x)$，其展开式为：
$$Y_n(x) = \frac{2}{\pi} J_n(x)\ln\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-k-1)!}{k!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k-n} - \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{n+2k} \left( \psi(k+1)+\psi(n+k+1) \right)$$
当$x\to0^{+$时，第一个求和项中$2k-n$是负数（因为$k<n$），所以这一项是$x}{-n}$阶的无穷大量，主导了整个表达式的趋势，因此$\lim_{x\to0} Y_n(x)=-\infty$，而我们第一步证明的$J_n(x)\ln x\to0$不影响这个主导趋势。

这样一步步拆解下来，是不是就清晰多了？核心就是利用贝塞尔函数在原点附近的渐近行为，比直接对$J_\nu(x)\ln x$用洛必达法则更高效～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者selmasilje