判断剩余类环ℤ_d是否为ℤ_m的子环的充要条件

先明确你给出的子环定义：$(R, +, \cdot)$是含单位元的交换环，子环$(S, +, \cdot)$需要满足：$(S, +)$是$(R, +)$的加法子群，$S$对乘法封闭，且$S$有自己的单位元（不必和$R$的单位元相同）。

你已经发现了必要条件：如果$\mathbb{Z}_d$是$\mathbb{Z}_m$的子环，那么$d \mid m$——这个结论完全正确，因为$\mathbb{Z}_d$的加法群是$d$阶循环群，作为$\mathbb{Z}m$加法群的子群，必然满足$d$整除$m$。但反过来$d \mid m$时不一定成立，比如你举的$m=12, d=6$的例子，这时候$\mathbb{Z}{12}$里找不到一个6阶子环满足有单位元的要求。

那我们来推导完整的充要条件：
要让$\mathbb{Z}_d$成为$\mathbb{Z}_m$的子环，除了$d \mid m$之外，还需要满足**$\gcd(d, m/d) = 1$**。

为什么这个条件是必须的？我们来拆解分析：

• 当$d \mid m$时，设$m = d \cdot n$（也就是$n = m/d$）。$\mathbb{Z}_m$中唯一的$d$阶加法子群是$S = {0, n, 2n, ..., (d-1)n}$，这个子集对加法是子群，对乘法也封闭，但关键是要有单位元。
• 比如你举的反例$m=12, d=6$，$n=2$，$\gcd(6,2)=2≠1$，这时候$S={0,2,4,6,8,10}$，我们尝试找单位元：对任意$e \in S$，都无法满足$e \cdot s = s$对所有$s \in S$（比如$e=2$时$22=4≠2$，$e=4$时$42=8≠2$，其余元素也都不满足），所以这个子集不符合子环定义。
• 当$\gcd(d,n)=1$时，$n$在$\mathbb{Z}_d$中有逆元，我们可以找到整数$t$使得$tn \equiv 1 \mod d$，那么元素$tn \in S$就是$S$的单位元：因为$(tn) \cdot (kn) = tkn^2 = (1+sd)kn$（由$tn \equiv1 \mod d$得$tn=1+sd$），展开后等于$kn + sdk n = kn + s k m$，模$m$后就是$kn$，正好满足单位元“左乘任意元素等于该元素”的要求。

总结一下，按你的子环定义，$\mathbb{Z}_d$是$\mathbb{Z}_m$的子环的充要条件是：

• $d$整除$m$，并且
• $d$与$m/d$互质（即$\gcd(d, m/d) = 1$）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ethan Kharitonov