满足每两点连线恰含第三点且无四点共线的平面点集的可能大小n的求解

先跟大家唠唠这个问题的由来：我当初看错了IMO 2015的第1题，把题目里的“AB=AC（指距离相等）”理解成了“A、B、C三点共线”，结果捣鼓出这么个“山寨版”问题。后来发现和原题不是一回事，但还是想搞明白这个问题能不能证明，网上搜不到现成的思路，所以来这儿请教大家。另外提前说下，我下面提到的“集合”，全都是指平面上的点集哈。

问题的严谨表述 #

先给两个定义：

• 平衡集$S$：对$S$里任意两个点$A$和$B$，总能在$S$里找到第三个点$C$，使得$C$在直线$AB$上；
• 无中心集$S$：对$S$里任意两个点$A$和$B$，直线$AB$上绝不会同时存在$S$里的另外两个点$C$、$D$（说白了就是绝对不能有四点共线的情况）。

我的问题是：对于哪些大于等于3的正整数$n$，存在一个大小为$n$的点集$S$，同时满足上面这两个条件？

换个更直白的说法就是：这个点集里，任意两点的连线上恰好有第三个点，而且永远不会出现四个点共线的情况。

我的猜想 #

我目前觉得只有$n=3$的时候成立——就是三个共线的点，但也不确定是不是真的只有这一个解。

我目前的推导进展 #

先定义几个方便讨论的符号：

• $L$：所有过$S$中至少两个点的直线的集合；
• $L_p$：所有过点$p \in S$的直线的集合。

1. 首先，如果$n>3$，所有点共线肯定不行——那样就会有至少四个点在同一条直线上，直接违反了无中心集的要求。这也能直接推出$|L| \geq 3$，这个结论很简单，我就不展开证明了。

2. 接下来我试着用$n$来表示直线集合$L$的大小，以此缩小$n$的可能范围：

   • 对任意一个点$p$，$S$里还有$n-1$个其他点。根据平衡集的要求，每个过$p$的直线上都得恰好有另外两个点（不然要么存在两点连线没第三个点，要么就会出现四点共线），所以这些点是两两配对和$p$共线的，这就意味着$n-1$必须是偶数，所以$n$一定是奇数。
   • 对每个点$p$，过它的直线数量$|L_p| = \frac{n-1}{2}$（因为每条直线带两个其他点）。
   • 把所有点的$|L_p|$加起来，得到的总和是$n \times \frac{n-1}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$，但这里每条直线都被重复计算了三次（毕竟每条直线上恰好有三个点，每个点都会把这条直线算一次），所以实际的直线总数$|L| = \frac{n(n-1)}{6}$。
   • 这说明$n(n-1)$必须是6的倍数。结合之前得出的$n$是奇数的结论，分情况看：
     • 如果$n-1$是6的倍数，那$n=6k+1$（$k$是非负整数）；
     • 如果$n$是3的倍数，同时$n-1$是偶数（这本来就满足，因为$n$是奇数），那$n=6k+3$（$k$是非负整数）。
   • 这么一来，目前筛选出来的$n$的可能值就是：${3,7,9,13,15,19,21...}$

3. 我还尝试从几何角度入手，比如限制$S$在凸区域里之类的，但都没什么进展，现在就卡在这儿了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Badikadikau