不依赖集合论与小范畴假设的幺半范畴定义探究及相关疑问

我一直在琢磨，能不能找到一个完全基于范畴论原生元素（比如对象、态射、范畴本身）的幺半范畴定义——核心要求是绝对不能预设我们讨论的是小范畴，毕竟小范畴的定义要依赖集合的概念，这就脱离了纯范畴论的框架了。

我了解到幺半范畴定义里的张量积是个函子 $\otimes: C \times C \to C$，但函子有两种定义路径：

• 外部定义：把函子说成是满足某些性质的“映射”，但这里的“映射”明显还是绕不开集合，所以这个方向肯定不行。
• 内部定义：函子被定义为一对态射，其源范畴和目标范畴都是内部范畴；而内部范畴本身，则是由环境范畴里的2个对象、4个态射构成，满足特定公理。

现在我卡壳的地方就在这儿：我不知道怎么把函子的这种内部定义和幺半范畴的定义衔接起来。
幺半范畴里的函子是 $\otimes: C \times C \to C$，但用内部范畴的思路时，我压根没见过“范畴乘积 $\times$”该怎么处理——毕竟内部范畴并不是作为环境范畴里的单个对象存在的，所以完全摸不着头绪，不知道该怎么把这两个定义拼合到一起。

我甚至开始打问号：这种完全不依赖集合论、不假设小范畴的幺半范畴定义，到底存在不存在？真心求各位大佬指点！

另外，我查资料的时候，看到好多地方提到了2-范畴，但我同样找不到仅用范畴论基础元素来定义2-范畴的方式，这也让我更懵了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paulo Cavalcanti