二维哈密顿型ODE数值方法的二阶精度证明方法咨询

嗨，我最近在做一个数值方法的练习，目标是求解下面的二维哈密顿常微分方程组：

$$\dot{q}=p, \quad \dot{p}=-\omega^2q$$

经过推导，我得到的最终数值迭代方法形式是：

$$\begin{pmatrix} q_{k+1} \ p_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\omega^2h2/2 & \omega h \ -\omega h + \omega^3 h^3 / 4 & 1-\omega^2 h^2 / 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_{k} \ p_{k} \end{pmatrix}$$

接下来我需要完成两个证明：一是这个方法是辛格式，二是它具有二阶精度。关于辛性的证明，我知道只需要验证上述迭代矩阵的行列式等于1就行，这部分我应该能处理。但我卡在了二阶精度的证明上——

之前学的单步方法是$x_{k+1}=x_k+h\Phi(t_k,x_k, h)$，它的精度阶数$p$定义为：当$h \rightarrow 0$时，截断误差

$$\frac{x(t_{k+1})-x(t_k)}{h}- \Phi(t_k,x(t_k), h)$$
属于$\mathcal{O}(h^p)$。但现在是二维的方程组，对应的精度定义应该怎么套用呢？有没有熟悉数值ODE的朋友能给我讲讲思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Henry T.