关于Stanley《组合数学》第一卷中无不动点函数计数习题的疑问

你这里其实是混淆了两类“无不动点”的计数对象啦！

首先纠正一个关键错误：你认为$E(n)=(n-1)^{n$是不对的——$(n-1)}n$是所有满足$f(i)\neq i$（对任意$i\in[n]$）的普通函数总数，但Stanley习题里的$E(n)$指的是无不动点的双射，也就是我们常说的错位排列数（通常记为$D(n)$）。

错位排列数的计算公式是：
$$D(n)=n!\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$$
所以$\frac{D(n)}{n!}=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}{k!}$，当$n\to\infty$时，这个求和式的极限就是$e}{-1}=\frac{1}{e}$，完全符合Stanley的结论。

至于你猜测的“作者是不是想说$E(n)/n^{n$”，如果$E(n)$指的是所有无不动点的普通函数，那$\frac{E(n)}{n}n}=(1-\frac{1}{n})^n$，这个极限确实也是$\frac{1}{e}$，但这并不是题目里的$E(n)$定义。题目里的$E(n)$明确是无不动点的双射，所以作者的表述没问题，是你误把计数对象搞混啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kandinskij