关于自由模直和分解中补模的自由性疑问

这个问题看似和线性代数里“补空间必为子空间”的直觉类似，但在交换环的模论框架下，情况要复杂不少——一般情况下答案是否定的，存在自由模$C$和自由子模$A$，使得直和补$B$不是自由模。

反例构造 #

我们可以利用“投射模是自由模的直和项，但投射模未必自由”这个性质来构造反例：
取交换环$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$（这是一个戴德金环，但不是主理想整环），考虑理想$I=(2,1+\sqrt{-5})$，它是一个投射但非自由的$R$-模（因为它不是主理想，而$R$上的自由秩1模都是主理想）。根据戴德金环的性质，$I\oplus R \cong R^2$（投射模与自由模的直和是自由模），进一步扩展到更大的自由模：
$R^3 = (R\oplus R) \oplus I$
此时：

• $C=R^3$是自由模（秩3），
• $A=R\oplus R$是自由模（秩2），
• $B=I$是非自由模，
  完全满足问题中$C=A\oplus B$的条件。

哪些环下结论成立？ #

有几类经典的环可以保证“自由模的自由直和项的补模必自由”：

• 主理想整环（PID）：PID上所有投射模都是自由模，而直和项一定是投射模，因此$B$作为自由模$C$的直和项，必然是自由的。整数环$\mathbb{Z}$就是典型例子。
• 局部环：根据Nakayama引理，局部环上的任何投射模都是自由模，因此直和项$B$必为自由模。比如域上的幂级数环$k[[x]]$。
• 半局部环：半局部环（只有有限个极大理想的环）上的投射模都是自由模，因此结论成立。比如有限个局部环的直积$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。
• 域上的多项式环：根据Quillen-Suslin定理，域上的多元多项式环$k[x_1,x_2,...,x_n]$上的所有投射模都是自由模，因此直和项必自由。

另外你提到的“尝试用线性代数的方法补全基”，这种思路在局部环或者PID里是可行的，但在一般交换环里，因为环可能没有足够的可逆元（比如零因子、非主理想等），所以无法像线性空间那样直接补基。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Serban