整数集上对称随机游走的常返性直接证明（不依赖跳跃期望为0的定理）

你已经做了很棒的第一步分析，接下来我们可以通过对称性和建立递推方程来完成证明，具体步骤如下：

1. 利用对称性简化变量
   因为这个随机游走是对称的，从状态-1出发首次回到0的概率，和从状态1出发首次回到0的概率完全相等。我们记这个概率为 ( a )，即：
   [
   P_{-1}[\tau^1_0<\infty] = P_1[\tau^1_0<\infty] = a
   ]
   同时记我们要证明的目标值 ( P_0[\tau^1_0<\infty] = r )，把这些代入你已经得到的第一步分析式子：
   [
   r = \frac{1}{3}a + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}a = \frac{2a}{3} + \frac{1}{3} \tag{1}
   ]

2. 为 ( a = P_1[\tau^1_0<\infty] ) 建立递推关系
   我们对从状态1出发的情况再做一次第一步分析：从1出发，第一步有三种可能：

   • 以1/3的概率直接走到0：此时已经到达目标点，这部分贡献 ( \frac{1}{3} \times 1 )
   • 以1/3的概率停留在1：此时相当于重新从1出发，贡献 ( \frac{1}{3} \times a )
   • 以1/3的概率走到2：此时需要从2出发最终回到0，我们记这个概率为 ( a_2 = P_2[\tau^1_0<\infty] )，贡献 ( \frac{1}{3} \times a_2 )
     由此得到等式：
     [
     a = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3}a + \frac{1}{3}a_2 \tag{2}
     ]

3. 推广到一般状态的递推方程
   对于任意整数 ( k \geq 1 )，我们记 ( a_k = P_k[\tau^1_0<\infty] )（从k出发首次回到0的概率），用同样的第一步分析逻辑，可以得到：
   [
   a_k = \frac{1}{3}a_{k-1} + \frac{1}{3}a_k + \frac{1}{3}a_{k+1}
   ]
   两边乘以3并整理后，得到二阶线性齐次递推关系：
   [
   a_{k+1} - 2a_k + a_{k-1} = 0
   ]
   这个方程的特征方程是 ( r^2 - 2r + 1 = 0 )，有重根 ( r=1 )，因此通解为：
   [
   a_k = A + Bk
   ]
   其中A和B是待确定的常数。

4. 利用概率的有界性确定常数
   概率的取值范围必然是 ( [0,1] )，所以对所有 ( k \geq 1 )，都有 ( 0 \leq a_k \leq 1 )。如果 ( B \neq 0 )，当 ( k \to \infty ) 时，( a_k = A + Bk ) 会趋向正无穷或负无穷，这显然不符合概率的有界性。因此必须 ( B=0 )，即：
   [
   a_k = A \quad \forall k \geq 1
   ]
   也就是说，所有 ( a_k ) 都是同一个常数，自然 ( a_1 = a_2 = A = a )。

5. 求解常数并得出结论
   将 ( a_2 = a ) 代入式子(2)：
   [
   a = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3}a + \frac{1}{3}a
   ]
   整理计算：
   [
   a = \frac{1}{3} + \frac{2a}{3} \implies 3a = 1 + 2a \implies a=1
   ]
   再把 ( a=1 ) 代入式子(1)：
   [
   r = \frac{2 \times 1}{3} + \frac{1}{3} = 1
   ]
   这就证明了 ( P_0[\tau^1_0<\infty] = 1 )，即该对称随机游走是常返的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Enrico