抛物线定点最短距离求解及三次方程解法咨询

问题回顾 #

已知点 $P(a,b)$ 在抛物线 $y^2=6x$ 上，求 $P$ 到点 $\displaystyle Q(3,\frac{3}{2})$ 的最短距离，同时计算 $2(a+b)$ 的值。

你的推导中的关键错误 #

你在代入点 $Q$ 到法线方程时，出现了符号计算失误，这导致后续的三次方程完全偏离了正确方向！我们来修正这一步：

法线方程代入 $Q(3,\frac{3}{2})$ 后：
$$\frac{3}{2}-b=-\frac{b}{3}(3-a)$$
右边展开应该是：
$$-\frac{b}{3} \times 3 + \frac{b}{3} \times a = -b + \frac{ab}{3}$$
所以等式简化为：
$$\frac{3}{2}-b = -b + \frac{ab}{3}$$
两边同时加 $b$，直接得到：
$$\frac{3}{2} = \frac{ab}{3} \implies ab = \frac{9}{2} \tag{2}$$
而不是你之前得到的 $b=\frac{9}{2(3+a)}$，这个错误是导致后续三次方程难解的核心原因。

正确的解法步骤 #

现在联立正确的关系式：

1. 由 $P(a,b)$ 在抛物线上，得 $b^2=6a \tag{1}$
2. 结合修正后的 $ab=\frac{9}{2}$，把 $a=\frac{b^2}{6}$ 代入(2)：
   $$\frac{b^2}{6} \times b = \frac{9}{2} \implies \frac{b^3}{6} = \frac{9}{2} \implies b^3=27 \implies b=3$$
3. 把 $b=3$ 代入(1)，得 $3^2=6a \implies a=\frac{3}{2}$

接下来计算要求的量：

• 最短距离：
  $$PQ=\sqrt{(3-\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2}-3)^{2}=\sqrt{(\frac{3}{2})}2 + (-\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
• $2(a+b)$的值：
  $$2(a+b)=2\times(\frac{3}{2}+3)=9$$

更简便的替代方法：用距离平方求极值 #

其实不用绕法线的思路，直接用距离平方求导找极值更直观，也不容易出错：
设 $P(a,b)$ 在抛物线上，$a=\frac{b^2}{6}$，则 $P$ 到 $Q$ 的距离平方为：
$$D^2=(a-3)2 + (b-\frac{3}{2})^2$$
代入 $a=\frac{b^2}{6}$ 并化简：
$$D^{2=\left(\frac{b}2}{6}-3\right)^2 + \left(b-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{b4}{36}-3b+\frac{45}{4}$$
对 $b$ 求导并令导数为0：
$$\frac{d(D^{2)}{db}=\frac{b}3}{9}-3=0 \implies b^3=27 \implies b=3$$
后续步骤和之前一致，这种方法省去了法线斜率的推导，减少了出错概率。

关于你之前的三次方程 #

顺带提一句，你之前得到的错误三次方程 $8a^3+48a2+72a-27=0$，其实可以用有理根定理尝试，但因为方程本身是错误的，所以解出来的结果也不符合原问题的实际意义。不过如果以后遇到类似的三次方程，你可以尝试：

• 用有理根定理：先列出常数项和首项系数的所有因数，代入方程试根；
• 用变量替换（比如凑完全立方）简化方程；
• 对于无有理根的三次方程，用卡尔丹公式求解，但计算量会比较大。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Priti Bisht