寻求积分$I(a)=\int_0^1 a^x\ \frac{x(1-x)}{\sin(\pi x)} dx$的全域近似函数

我怀疑这个积分没有闭合形式，所以一直在尝试找它的近似表达式：
$$I(a)=\int_0^1 a^x\ \frac{x(1-x)}{\sin(\pi x)} dx$$

我想要找到一个函数$F(a)$，满足
$$F(a)\simeq I(a)$$
而且这个近似要对**所有$a>0$**都成立——像截断泰勒级数这种就没用了，因为当$a$很大的时候，需要加的项会越来越多，根本没法通用。

到目前为止，我只找到了两个看起来靠谱的近似：

1) 基于对数均值的不等式近似 #

用了一个对小$x,y$精度不错的不等式：
$$\frac{x-y}{\log x-\log y}<\left(\frac{x^{\frac13}+y{\frac23}}{2} \right)^3 $$
推导得到：
$$F_1(a)=\frac{1+a}{8\pi}+\frac{a^{\frac13}+a{\frac23}}{6\sqrt3}$$
这个近似在$a$较小时的百分比误差大概在1%左右，但随着$a$增大，误差会越来越大。

2) 基于经典正弦近似 #

用了一个古老的$\sin x$近似公式：
$$\sin x \simeq \frac{16(\pi-x)x}{5\pi^2-4(\pi-x)x}$$
得到的近似式是：
$$F_2(a)=\frac{a-1}{2\log^{3a}-\frac{a+1}{4\log}2a}+\frac{5(a-1)}{16\log a}$$
这个的精度特别高，哪怕$a$非常大的时候也依然准确。

不过我还是想找其他更好的近似，目前就只搞出来这两个。针对第一个近似，我试过用更精确的对数均值界，但那样就没法积分了——取指数为1/3的广义均值是我能做到的最优解，而且这个结果只包含多项式，没有指数、对数或者三角函数，这点我很喜欢。但问题是当$a$超过10之后，两个均值的差距会快速拉大，所以它只在$a$较小时好用。

如果有人有思路能得到其他近似，我非常乐意听听！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zima