关于Bredon覆盖空间定义中叶为道路连通分支的技术问询

嘿，这个问题抓得很准——咱们顺着Bredon的定义一步步拆解，就能明白为什么那些被称为“叶”的$U_\alpha$恰好是$p^{-1}(U)$的道路连通分支。

首先先把Bredon的定义摆出来方便对照：

A map $p: X \to Y$ is called a covering map (and $X$ is called a covering space of $Y$) if $X$ and $Y$ are Hausdorff, arcwise connected, and locally arcwise connected, and if each point $y \in Y$ has an arcwise connected neighborhood $U$ such that $p^{-1}(U)$ is a nonempty disjoint union of sets $U_\alpha$ (which are the arc components of $p^{-1}(U)$), on which $p\mid_{U_\alpha}$ is a homeomorpism $U_\alpha \to U$. Such sets $U$ will be called elementary, or evenly covered.

核心要抓住定义里的几个关键前提：$X$和$Y$都是局部道路连通且Hausdorff的，以及$U$是道路连通的邻域。咱们分两个方向理清楚：

为什么$U_\alpha$必须是道路连通分支？ #

首先，$p\mid_{U_\alpha}$是从$U_\alpha$到$U$的同胚，而同胚映射会严格保持道路连通性——$U$是道路连通的，所以$U_\alpha$必然也是道路连通的。

接下来，$p^{{-1}(U)$是这些$U_\alpha$的**不相交并**，也就是说任意两个不同的$U_\alpha$和$U_\beta$没有交集。那假设某个$U_\alpha$不是$p}{-1}(U)$的道路连通分支，就意味着存在一个更大的道路连通子集$C \subset p^{-1}(U)$包含$U_\alpha$，那$C$必然还要包含另一个$U_\beta$（因为$U_\alpha$不是极大的），但这就和$U_\alpha$与$U_\beta$不相交的条件矛盾了。

再结合$X$是局部道路连通的性质：局部道路连通空间中，子集的连通分支和道路连通分支是完全一致的，所以$U_\alpha$作为极大的道路连通子集，自然也是$p^{-1}(U)$的道路连通分支。

反过来，为什么$p^{-1}(U)$的道路连通分支一定是这样的$U_\alpha$？ #

假设$C$是$p^{-1}(U)$的一个道路连通分支，那$p(C)$是$U$的道路连通子集（连续映射保持道路连通性）。但因为$p$是覆盖映射，对于每个$y \in U$，$p^{-1}(y)$中的每个点都属于不同的$U_\alpha$，而且$p\mid_{U_\alpha}$是同胚，所以$p(C)$必须等于整个$U$（不然就会有$y \in U$不在$p(C)$里，那$p^{-1}(y)$和$C$无交集，但$C$是道路连通分支，这说不通）。

同时，$p\mid_C$是连续、开（覆盖映射是局部同胚，局部同胚是开映射）且满射的，再加上$p^{-1}(U)$是不相交的$U_\alpha$的并，$C$作为道路连通分支只能完全包含在某个$U_\alpha$里，又因为$p(C)=U=p(U_\alpha)$，而$p\mid_{U_\alpha}$是单射（同胚的性质），所以$C$必须等于这个$U_\alpha$。

说白了，Bredon的定义里把$U_\alpha$指定为道路连通分支，其实是把覆盖映射的局部性质和空间的道路连通性前提结合起来的必然结果——既保证了叶的极大性，又利用同胚的性质锁定了叶的形态。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mutantacule