椭球切平面坐标轴截距和最小化问题求解求助

嘿，我看你在这个问题上卡壳了，先帮你揪出核心问题——你之前设定的目标函数不对哦！a、b、c是椭球本身的固定参数，不是切平面在坐标轴上的截距，这就导致整个方向偏了，咱们重新理一遍：

第一步：写出椭球上任意点的切平面方程 #

对于椭球方程 x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1，假设其上有一点 P(x₀, y₀, z₀)（这里x₀、y₀、z₀都不为0，否则切平面会和坐标轴平行，没有截距），那么该点处的切平面方程推导出来是：

(x₀x)/a² + (y₀y)/b² + (z₀z)/c² = 1

第二步：计算切平面在坐标轴上的截距 #

分别令另外两个坐标为0，就能得到三个轴的截距：

• x轴截距：A = a²/x₀（令y=0,z=0，解出x）
• y轴截距：B = b²/y₀
• z轴截距：C = c²/z₀

咱们要最小化的是截距之和，所以目标函数应该是：
S = A + B + C = a²/x₀ + b²/y₀ + c²/z₀

约束条件就是点P在椭球上：
x₀²/a² + y₀²/b² + z₀²/c² = 1（同时限定x₀>0、y₀>0、z₀>0，因为要考虑正截距之和，负截距的话和会更小，但通常这类问题默认求正截距的最小和）

第三步：用拉格朗日乘数法求解极值 #

构造拉格朗日函数（为了简化写法，把x₀、y₀、z₀换成x、y、z）：

L = a²/x + b²/y + c²/z + λ(1 - x²/a² - y²/b² - z²/c²)

对x、y、z、λ分别求偏导并令其为0：

• 对x求偏导：-a²/x² - λ*(2x/a²) = 0 → 整理得 λ = -a⁴/(2x³)
• 对y求偏导：-b²/y² - λ*(2y/b²) = 0 → 整理得 λ = -b⁴/(2y³)
• 对z求偏导：-c²/z² - λ*(2z/c²) = 0 → 整理得 λ = -c⁴/(2z³)
• 对λ求偏导：1 - x²/a² - y²/b² - z²/c² = 0

从前面三个等式可以得到：a⁴/x³ = b⁴/y³ = c⁴/z³，我们可以设这个公共值为k，那么：
x = a^(4/3)/k^(1/3)，y = b^(4/3)/k^(1/3)，z = c^(4/3)/k^(1/3)

把x、y、z代入约束条件，化简后可以解出：
k^(2/3) = a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3)

最后把x、y、z代入目标函数S，就能得到最小的截距之和：
S_min = (a^(2/3) + b^(2/3) + c^(2/3))^(3/2)

这样整个推导就通顺啦，你之前的核心错误是混淆了椭球参数和切平面截距，现在调整目标函数后就能得到正确结果咯～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mia