关于三角形外角平分线定理适用范围的疑问及矛盾点求证

我是一名高中生，最近课本里学到了这么一个定理：

三角形一个角的外角平分线会把对边外部分割成与这个角的两边长度成比例的两段。

这个定理把我搞懵了——我拿等边三角形试了试，发现外角平分线和对边的延长线居然是平行的，根本不会相交，这定理完全没法用啊！

后来我去查了资料，看到相关内容里提到这个定理只适用于非等边三角形。于是我又试了另外两种等腰三角形：一种是90°、45°、45°的等腰直角三角形，另一种是80°、50°、50°的等腰三角形。结果发现这两种情况里，∠A的外角平分线居然都和BC边平行，永远不会相交，定理还是没法套用。

我就纳闷了：既然有这么多矛盾的情况，这个定理为什么还能成立？还是说我哪里理解错了？

编辑补充：
看到SotArmen的回答后我又琢磨出一个问题：按照定理的表述，在上面这些等腰三角形里，应该满足 $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$。因为是等腰三角形，$\frac{AB}{AC}=1$，那自然$\frac{BD}{CD}=1$，也就是BD=CD。但从图形位置来看，C不可能在B的左边，也不可能在D的右边，唯一能满足BD=CD的情况就是B和C重合——可那样的话就根本不是三角形了啊！所以是不是这个定理在这类等腰三角形的情况里根本不成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者I-am-developer-9