群论中关于子群乘积等式AB=(AB^*)(A^*B)的验证问询

嘿，我最近在群论学习里碰到这么一个问题，想请大家帮忙看看我的推导是不是正确的：

设$G$是一个群，且$A^* \leq A \leq G$，$B^* \leq B \leq G$。如果$AB$、$AB^*$、$A*B$都是$G$的子群，那么是否一定有$AB=(AB^*)(A*B)$？

我尝试用集合的双向包含来证明这个等式：

第一方向：$AB \subseteq (AB^*)(A*B)$ #

对于任意元素$ab \in AB$，我们可以把它写成$ab=(a \cdot 1)(1 \cdot b)$，其中$1$是群的单位元。显然$a \cdot 1 \in AB^$（因为$1 \in B^*$，而$B \leq B$），同时$1 \cdot b \in A^B$（因为$1 \in A^*$，$A \leq A$），所以$ab$属于$(AB^*)(A*B)$，这就证明了左边包含于右边。

第二方向：$(AB^*)(A*B) \subseteq AB$ #

取$(AB^*)(AB)$中的任意元素$(ab^*)(ab)$，其中$a \in A$，$b^ \in B^*$，$a \in A^*$，$b \in B$。

已知$AB^*$和$AB$都是子群，而子群满足乘积可交换（即如果$XY$是子群，那么$XY=YX$），所以$AB^*=BA$，$A^*B=BA$。基于这个性质，我们可以找到$b_1, \bar{b}, b_2 \in B$，$a_1^ \in A^*$，$a_2, a_3 \in A$，做如下推导：

$$
\begin{align*}
(ab^*)(ab) &= (ab^*)(b_1a_1) \
&= a(b^*b_1)a_1* \
&= (a \bar{b})a_1^* \
&= b_2(a_2a_1^) \
&= b_2a_3 \in BA=AB
\end{align}
$$

这里每一步的依据：

• 第一步：因为$a^b \in A^*B=BA$，所以存在$b_1 \in B$，$a_1^* \in A^*$使得$ab = b_1a_1^$
• 第二步：利用群的结合律重组元素结合顺序
• 第三步：因为$b^*b_1 \in B$，而$AB$是子群，所以$a\bar{b} \in AB=BA$（这里$\bar{b}=b^*b_1$），因此存在$b_2 \in B$，$a_2 \in A$使得$a\bar{b}=b_2a_2$
• 第四步：$a_2a_1^* \in A$（因为$A$是子群，$a_2 \in A$，$a_1^* \in A^* \leq A$），记$a_3=a_2a_1^*$，最后得到的$b_2a_3$属于$BA$，而$AB$是子群，所以$BA=AB$，因此这个元素属于$AB$。

这样就证明了右边包含于左边。

综上，双向包含都成立，是不是就说明$AB=(AB^*)(A*B)$了？想问问大家我的推导有没有哪里疏漏或者错误的地方呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brendon