方程$e^{x^2-1}=x^3-x\ln x$非1正根的闭式解相关技术问询

我最近在研究这个方程：
$$e^{x2-1}=x^3-x\ln x$$
想和大家探讨下它的正根闭式解相关问题。

首先通过图像分析能确定，这个方程有2个正实根：

• 其中$x=1$是很容易验证的有理解；
• 另一个正根是难点，我用Wolfram Alpha算出它的近似值为：
  $$x\approx 0.45076365201730712954...$$
  我猜测这个根是无理数，但目前只是推测。

现在有两个核心问题想请教大家：

• 如何判断一个无理根是否存在闭式解？这里需要明确：我所说的闭式解指的是初等函数与Lambert W函数的组合形式。
• 如果这个根确实没有闭式解，我们可以借助哪些理论来证明这一点？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1174831