满足∠P=3∠Q且边长最高公因子为1的整数边三角形中至少一边为立方数的证明方法咨询

嗨，各位大佬好！最近我被以前的一个学生问了这么个问题，折腾了好久还是没完全搞定，想过来请教下大家的思路。

先把问题明确一下：

已知三角形PQR的三边长度p、q、r都是正整数，且p、q、r的最大公约数为1，同时∠P=3∠Q，如何证明p、q、r中至少有一个是立方数？

我自己试了两种思路，都遇到了瓶颈：

• 一开始想从几何角度切入，结果越分析越复杂，各种线段关系、角度拆分混在一起，很快就乱了阵脚，不得不放弃。
• 后来换成代数方法，感觉方向更靠谱，也有了一些初步进展，但卡在了怎么把“三边最大公约数为1”这个条件和后续推导衔接起来，始终没法完成最后的证明。

另外有个小进展我倒是搞定了：我用余弦定理证明了cos∠Q和sin∠Q都是有理数——毕竟三边都是整数，根据余弦定理直接就能推出cos∠Q是有理数，这个推导没什么问题，但到这一步之后就不知道该往哪个方向推进了。

有没有大佬能给我指点下接下来的思路，或者分享一些相关的数论技巧呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Enthusiast