求证多项式$x^{2020} + x^{1011} + 2 x^{1010} + x^2 + x + 1$无实根的非求导方法求助

我需要证明多项式 $$x^{2020} + x^{1011} + 2 x^{1010} + x^2 + x + 1$$ 没有实根。这个多项式的次数是2020，实在太高了，我平时对付低次多项式的方法都不管用。试过用平方和的思路但没成功，也尝试过提出$x^{1010}$写成 $$x^{1010}(x{1010} + x + 2) + x^2 + x + 1$$，但还是没进展。想找一个不用求导的解法。

嘿，我来帮你搞定这个问题！不用求导的话，咱们可以通过分情况讨论+拆项分析的方式，证明这个多项式在所有实数x上的值都严格大于0，这样自然就不存在实根啦。

情况1：当$x \geq 0$时 #

这时候所有项的符号都很好判断：

• $x^{{2020}$、$2x}{1010}$、$x^2$都是非负项（偶次幂+非负底数）；
• $x^{1011} + x = x(x^{1010} + 1)$，因为$x \geq 0$且$x^{1010} + 1 \geq 1 > 0$，所以这部分也是非负的；
• 最后还有常数项$1 > 0$。

把这些加起来，整个多项式就是「非负项 + 正数1」，结果必然严格大于0，所以$x \geq 0$时多项式不可能等于0。

情况2：当$x < 0$时 #

咱们做个变量替换，令$t = -x$（此时$t > 0$），把多项式里的$x$换成$-t$，化简后得到：
$$
t^{2020} - t^{1011} + 2t^{1010} + t^2 - t + 1
$$
接下来拆成两个子情况分析：

子情况2.1：$0 < t \leq 1$

• 高次项部分：$t^{2020} - t^{1011} + 2t^{1010} = t^{1010}(t{1010} - t + 2)$，因为$0 < t \leq 1$，所以$t^{1010} \geq 0$，而$-t + 2 \geq 1 > 0$，括号里的整体肯定大于0，因此这部分是正的；
• 低次项部分：$t^2 - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$，这是一个平方加正数的形式，显然恒大于0。

两部分都是正数，加起来自然大于0。

子情况2.2：$t > 1$

• $t^{2020} > t^{1011}$：因为$t > 1$，指数越大幂值越大，$2020 > 1011$，所以$t^{2020} - t^{1011} > 0$；
• $2t^{1010}$是正数，不用多说；
• 低次项$t^2 - t + 1 = t(t - 1) + 1$，因为$t > 1$，所以$t(t-1) > 0$，加上1之后还是正数。

所有部分都是正数，总和必然大于0。

结论 #

不管x是正数、0还是负数，这个多项式的值都严格大于0，因此它没有实根。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1210867