虚拟多循环群分解为某群与整数群直积的同构类数量问询

问题背景与定义 #

回顾：一个群$G$是多循环群，如果它存在有限子群列
$G = G_0 \rhd G_1 \rhd \cdots \rhd G_k = 1$，其中每个商群$G_{i−1}/G_i$（$i=1,\dots,k$）为有限循环群或无限循环群。
一个群$G$称为虚拟多循环群，如果存在多循环正规子群$H \lhd G$，使得商群$G/H$是有限群。

核心问题 #

假设$G$是一个虚拟多循环群，那么满足$G \cong G_i \times \mathbb{Z}$的群$G_i$（在同构意义下）有多少个？这个数量是有限的吗？

你的思路分析 #

你的方向是对的，但有个小细节需要修正：所有满足条件的$G_i$的Hirsch长度是固定的——因为虚拟多循环群的Hirsch长度$h(-)$是同构不变量，且直积的Hirsch长度等于各因子Hirsch长度之和，已知$h(\mathbb{Z})=1$，所以必然有$h(G_i) = h(G) - 1$，它们属于同一个Hirsch长度类，不是多个子类。

接下来我们完成你卡住的部分，证明这个类中的同构类数量是有限的：

结论与推导 #

答案是：这样的$G_i$的同构类数量确实是有限的，关键推导步骤如下：

1. 直积因子的性质约束
   若$G \cong G_i \times \mathbb{Z}$，则$\mathbb{Z}$对应的子群$Z \leq G$是$G$的无限循环直积因子——也就是说$Z \lhd G$（直积因子都是正规子群），且$Z$中的元素与$G_i$的所有元素交换，因此$Z \subseteq Z(G)$（$G$的中心）。

2. 虚拟多循环群的中心性质
   虚拟多循环群$G$的中心$Z(G)$是有限生成阿贝尔群：因为$G$有一个多循环正规子群$H$，$G/H$有限，而多循环群的中心是有限生成阿贝尔群，$Z(G)$与$H$的交集在$Z(G)$中有限指数，因此$Z(G)$本身也是有限生成阿贝尔群。

3. 有限生成阿贝尔群的直积因子限制
   有限生成阿贝尔群中，无限循环直积因子的可能选择对应的补因子（即$G_i$对应的商群$G/Z$）的同构类数量是有限的。再结合$G$是Noetherian群（所有子群均有限生成），$G$中满足$G = K \times Z$的子群$K$（对应$G_i$）的共轭类数量有限，进而它们的同构类数量也有限。

4. 商群同构类的有限性
   从商群角度看，$G_i \cong G/Z$，其中$Z$是$G$的无限循环直积因子。虚拟多循环群的商群若具有固定的Hirsch长度（这里是$h(G)-1$），其同构类数量必然有限——这是因为虚拟多循环群是有限表示的，有限表示群的商群在Hirsch长度固定时，只有有限种不同的同构类。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahtab