关于范畴论中所有图表是否均为交换图表的技术问询

嘿，我完全能get到你刚入门范畴论时的这个困惑——这个疑问刚好戳中了几个定义里的细节问题，咱们一步步捋清楚：

首先得指出，你给出的定义1明显有笔误！正确的态射相等条件应该是：两个态射 $f\colon a \to b$ 和 $g\colon c \to d$ 相等，当且仅当 $a = c$（源对象相同）、$b = d$（靶对象相同），并且这两个态射本身是范畴中同一个态射元素。你写的“$a = c$ 且 $c = d$”肯定是打错了，这个错误会直接误导你后续的理解。

接下来看定义2：你说“图表是范畴中对象和态射的集合”，这个定义太宽泛，不够准确。范畴论里的图表更精确的定义是：从一个小范畴（称为“图表范畴”）到目标范畴的函子。换句话说，图表不仅包含对象和态射，还自带态射之间的复合结构——但关键是，函子只保证复合的“结构”被保留（比如如果图表范畴里有态射 $h = g∘f$，那目标范畴里对应的态射也得是复合关系），但它不要求不同路径的复合结果相等。

然后是定义3：这个定义是对的，但你误解了“相同端点的可复合序列”的意思。这里的“相同端点”指的是两条完全不同的可复合路径，它们的起点和终点都一模一样——比如路径 $a \to b \to c$ 和 $a \to d \to c$，两条路径起点都是 $a$，终点都是 $c$，交换图表要求这两条路径的最终复合态射是相等的（也就是 $f∘g = h∘k$ 这类等式成立）。

那为什么不是所有图表都交换呢？举个简单的例子：在集合范畴 $\text{Set}$ 里，取对象 $X = {1,2,3}$，定义两个态射：

• $f\colon X \to X$：交换1和2，固定3；
• $g\colon X \to X$：交换2和3，固定1。

现在看两条从 $X$ 到 $X$ 的路径：一条是先做 $f$ 再做 $g$，另一条是先做 $g$ 再做 $f$。计算一下复合结果：

• $f∘g(1) = f(g(1)) = f(1) = 2$；
• $g∘f(1) = g(f(1)) = g(2) = 3$。

显然这两个复合态射不一样！如果我们把对象 $X$ 和态射 $f,g,f∘g,g∘f$ 做成一个图表，这个图表就不是交换的——因为两条起点终点相同的路径，复合结果不相等。

回到你的疑问：你之所以会觉得“所有图表都交换”，本质上是因为定义1的笔误，加上对图表定义的不完整理解。图表不是随便凑一堆对象和态射就行，而交换性的核心要求是不同路径的复合结果相等，而不仅仅是路径的起点和终点相同。

总结一下：

• 修正定义1的笔误，态射相等需要源、靶相同，且态射本身是同一个元素；
• 完善定义2，图表是从一个小范畴到目标范畴的函子；
• 正确理解定义3，交换性要求起点终点相同的不同路径，复合态射结果一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jakub Kaczor