1995年Putnam竞赛B6题简化后的分数部分和命题证明求助（寻求初等解法）

我最近在啃1995年Putnam竞赛的B6题，原题是这样的：

对任意$a>0$，定义集合$S(a)={\lfloor{na}\rfloor\mid n\in \mathbb{N}}$。证明不存在三个正实数$a,b,c$，同时满足：
$$S(a)\cap S(b)=S(b)\cap S(c)=S(c)\cap S(a)=\emptyset$$
$$S(a)\cup S(b)\cup S(c)=\mathbb{N}.$$

我先从自然密度的角度入手分析，因为$S(k)$的自然密度是$\frac{1}{k}$，再结合三个集合两两不交且并集是全体自然数的条件，推导出$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$。经过一些推导，我把原问题简化成了需要证明下面这个核心命题：

若$x,y,z>0$是互不相同的无理数，且满足$x+y+z=1$，则一定存在某个正整数$n$，使得
$${nx}+{ny}+{nz}\ne1.$$

我一开始尝试用Kronecker定理来证明：取一个序列$n_k$，使得${n_kx}>1-\epsilon$（这里$\epsilon$是某个固定的小正数），然后想模仿Kronecker定理证明里的鸽巢原理思路，去推导出存在某个$k$，使得${n_ky}+{n_kz}>\epsilon$，但这个思路完全走不通，没摸到任何门道。反过来，我试着想让这个和小于1，结果也遇到了同样的困境。

另外我也注意到，这个命题对两个无理数是不成立的——比如取$x=\sqrt{2}$，$y=2-\sqrt{2}$，对所有正整数$n$，都有${nx}+{ny}=1$，所以必须利用好三个无理数这个条件才行。

我试了一些看起来可能的反例，比如$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$y=z=\frac{\sqrt{2}}{4}$，但当两个数的分数部分有相关性时，用Kronecker定理就能看出它们不满足条件，但整体上我还是没找到任何有前景的思路，也没取得什么实质性进展。

我之前了解到，对于无理数$\alpha>0$，序列$({n\alpha}){n\geq1}$在$(0,1)$上是均匀分布的，这会导出$\lim{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{1\leq k\leq n}{k\alpha}=\frac{1}{2}$，这个结论好像能直接证明我那个核心命题，但我找不到不用复分析的初等证明方法。毕竟Putnam竞赛的题一般都是初等解法，适合本科生做，所以特别想求一个不用复分析的证明思路或者完整证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者João Rafael Silva de Azeredo