求证多项式$x^{2020} + x^{1011} - 2 x^{1010} + x^2 - x + 1$无实根的方法求助

各位大佬好～我最近卡在了一个多项式无实根的证明题上，想请大家帮忙支支招。题目是要证明：多项式$x^{2020} + x^{1011} - 2 x^{1010} + x^2 - x + 1$没有实根。

之前我看到过一个类似多项式的成功证明方法，本来想套用，但尝试后发现走不通，下面详细说说：

参考的类似多项式解法 #

之前看到的类似多项式是$x^{2020} + x^{1011} + 2 x^{1010} + x^2 + x + 1$，它的证明步骤如下：

• 先对多项式进行拆分：
  $$x^{1010}(x{1010} + x + 2) + x^2 + x + 1$$
• 首先，$x^{2+x+1$对所有实数$x$都*恒大于0*：因为它的二次项系数为正，判别式$\Delta=1}2-4\times1\times1=-3<0$，所以整个式子开口向上且与x轴无交点，恒正。
• 接下来只需证明$x^{1010}+x+2>0$：
  • 当$x\le-1$时，$x^{1010}=|x|{1010}\ge|x|$（因为指数1010是偶数，且$|x|\ge1$时，高次幂必然大于等于本身），代入得$x^{1010}+x+2\ge|x|+x+2$，而$x\le-1$时$|x|=-x$，所以式子变为$-x+x+2=2>0$；
  • 当$x>-1$时，$x^{{1010}\ge0$，所以$x}{1010}+x+2\ge0+x+2=x+2$，而$x>-1$时$x+2>1>0$；
    由此证明了这个类似多项式恒正，没有实根。

我的尝试与遇到的问题 #

我试着用同样的拆分思路处理目标多项式，拆分后得到：
$$x^{2020} + x^{1011} - 2 x^{1010} + x^2 - x + 1 = x^{1010}(x{1010} + x - 2) + x^2 - x + 1$$
首先，$x^2 - x + 1$同样是恒大于0的：二次项系数为正，判别式$\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=-3<0$，开口向上无交点，这点没问题。

我原本以为只要证明$x^{1010} + x - 2>0$就行，但后来验证发现这个式子并不是恒正的——比如当$x=1$时，$1+1-2=0$；在某个区间内甚至会小于0，所以这个拆分方法完全走不通。

想请教大家有没有其他的拆分方式或者证明思路，能证明目标多项式恒大于0，从而没有实根？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1210867