p³阶群的导群阶数上限命题的证明求助

我最近在做群论的一道题，想请大家帮忙看看：设$G$是一个阶为$p^3$的群（$p$为素数），证明或证伪$|G'| \leq p$。我一开始没找到反例，就试着去推导，但卡在某个环节了，想求助大家的思路。

首先我知道一个关键性质：非平凡的p-群的中心一定非平凡，所以$|Z(G)|$只能是$p$、$p^2$或者$p3$这三种情况，我分情况讨论了：

• 当$|Z(G)| = p^3$时，显然$Z(G)=G$，说明$G$是交换群，那导群$G' = {e}$，自然满足$|G'| \leq p$。
• 当$|Z(G)| = p$时，商群$G/Z(G)$的阶是$p^{2$，而所有$p}2$阶的群都是交换群，所以$G/Z(G)$是交换群。根据群论的结论，这时候导群$G'$是$Z(G)$的子群，那$|G'| \leq |Z(G)| = p$，也满足命题的要求。
• 当$|Z(G)| = p^{2$时，我就卡壳了——我甚至想不出来有没有阶为$p}3$且中心阶为$p^2$的群，完全不知道该怎么推导，想请大家指点一下。

编辑：
顺着Mark的提示想通了！如果$|Z(G)| = p^{2$，那商群$G/Z(G)$的阶就是$p$，而$p$阶群都是循环群。但我们有一个结论：如果$G/Z(G)$是循环群，那么$G$本身是交换群，这时候$G$就等于它的中心$Z(G)$，这和我们假设的$|Z(G)|=p}2$矛盾了！也就是说，这种情况其实是不存在的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathStudent101