可去奇点两种判定准则的等价性证明疑问

我从复分析课程和维基百科里分别了解到，一个映射$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, , z \mapsto f(z)$在$z_0$处有可去奇点，等价于以下两个结论：

• 函数在$z_0$的邻域内可以展开为不含负幂次的洛朗级数（也就是普通幂级数）：
  $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$
  其中$a_n \in \mathbb{C}$，且所有$n<0$时$a_n=0$。
• 满足极限条件：
  $$\lim_{z\to z_0}f(z)(z-z_0) = 0$$

我想证明这两个判定准则的等价性，但卡在了反向推导的最后一步，不确定自己的思路对不对，也不知道怎么严谨收尾。先说说我已经完成的正向推导：

从第一个准则推第二个准则，我是这么做的：
$$
\begin{align}
\lim_{z\to z_0}f(z)(z-z_0) &= \lim_{z\to z_0}\left(\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n\right)(z-z_0)\right)\
&= \lim_{z\to z_0}\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^{n+1}\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \lim_{z\to z_0} a_n (z-z_0)^{n+1}\
&= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{n+1}\
&= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot 0\
&= 0
\end{align}
$$
这部分我觉得是没问题的。

接下来是反向推导，也就是从极限条件推函数的洛朗级数没有负幂次项：
$$
\begin{align}
0&=\lim_{z\to z_0}f(z)(z-z_0)\
&=\lim_{z\to z_0}\left(\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n\right)(z-z_0)\right)\
&=\lim_{z\to z_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^{n+1}\
&=\lim_{z\to z_0}\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-z_0)^{n+1} + \lim_{z\to z_0}\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^{n+1}
\end{align}
$$
根据正向推导的结果，上面式子的最后一项极限是0，所以可以得到：
$$0=\lim_{z\to z_0}\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n (z-z_0)^{n+1}$$

到这里我就卡住了，不知道怎么从这个式子推出所有$n<0$时$a_n=0$。我自己的想法是，对于任意$n<0$，令$k = n+1$，那么$k\leq0$，当$z\to z_0$时，$(z-z_0)^k$要么趋向0（当$k=0$时）要么趋向$\pm\infty$（当$k<0$时），所以为了让整个求和的极限是0，所有对应的$a_n$必须为0？但我不确定这个思路是不是严谨，有没有更规范的证明方式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sileo