求解实参数s>1/4时多项式Q(x)的实根个数

问题描述 #

设s是大于$\frac{1}{4}$的实数，求多项式
$$Q(x)=x^{2022}-x{2020}+x^{2018}-x{1011}+x^{1009}+s$$
的所有可能的实根个数。

我一开始尝试化简这个多项式，但没找到有效的方向，比如写成：
$$Q(x)=x^{1009}(x{1013}-x^{1011}+x{1009}-x^2+1)+s$$
或者
$$Q(x)=x^{2020}(x2-1)+x^{1009}(x{1009}-x^2+1)+s$$
但之后就不知道该怎么推进了。

解答思路 #

我们可以分x=0、x>0、x<0三种情况逐一分析Q(x)的符号，判断是否存在实根：

1. x=0的情况

直接代入得$Q(0)=s$，题目中$s>\frac{1}{4}>0$，所以0不是Q(x)的根。

2. x>0的情况

我们再细分0<x<1、x=1、x>1三个子情况：

• 0<x<1：
  前三项$x^{2022}-x{2020}+x^{2018}=x{2018}(x^4-x2+1)$，其中$x^4-x2+1=(x^{2-\frac{1}{2})}2+\frac{3}{4}>0$，所以前三项为正；
  后两项$-x^{1011}+x{1009}=x^{1009}(1-x2)$，因为0<x<1时$1-x^2>0$，所以后两项也为正；
  两者相加再加上$s>\frac{1}{4}$，显然$Q(x)>0$，无实根。
• x=1：
  代入得$Q(1)=1-1+1-1+1+s=1+s>1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}>0$，无实根。
• x>1：
  先看Q(x)的单调性，求导得：
  $$Q'(x)=2022x^{2021}-2020x{2019}+2018x^{2017}-1011x{1010}+1009x^{1008}$$
  提取公因式$x^{1008}$后，剩余部分为：
  $$2022x^{1013}-2020x{1011}+2018x^{1009}-1011x2+1009$$
  其中$2022x^{1013}-2020x{1011}+2018x^{1009}=2x{1009}(1011x^4-1010x2+1009)$，而$1011x^4-1010x2+1009$的判别式$\Delta=1010^2-4\times1011\times1009<0$，所以这部分恒正；
  再看$-1011x^2+1009$，当x>1时这部分为负，但前面的正项增长速度远快于这个负项，整体导数$Q'(x)>0$，即Q(x)在x>1时单调递增。
  结合$Q(1)>0$且x→+∞时Q(x)→+∞，可知x>1时Q(x)始终大于0，无实根。

综上，x>0时Q(x)恒正，没有实根。

3. x<0的情况

令$x=-t$（t>0），代入Q(x)得：
$$Q(-t)=t^{2022}-t{2020}+t^{2018}+t{1011}-t^{1009}+s$$
整理为：
$$Q(-t)=t^{2018}(t4-t^2+1)+t{1009}(t^2-1)+s$$
我们可以证明前两部分的和恒正：

• 令$m=t^{{1/1009}$（即$t=m}{1009}$），代入前两部分得：
  $$m^{2018}(m4-m^2+1)+m{1009}(m^2-1)=m{1009}(m^{1009}(m4-m^2+1)+m2-1)$$
  进一步分析内部式子，结合$m^{1011}+m2=1$的正根$m_0$（0<m0<1），可推导出这部分的最小值为$\frac{(1-m_0²⁾3}{m_0^2}>0$，即前两部分的和始终为正。
• 加上$s>\frac{1}{4}$，显然$Q(-t)>0$，即x<0时Q(x)也恒正，无实根。

结论 #

当$s>\frac{1}{4}$时，多项式Q(x)在全体实数范围内恒大于0，实根个数为0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1210867