流形上向量场光滑性等价条件的证明及符号概念疑问
一、定理证明（必要性部分）
定理：流形$M$上的向量场$X$是光滑的，当且仅当对$M$的任意坐标卡$(U,\varphi)$，$X$的分量$X_i$都是光滑函数。
我们先证明必要性：若$X$光滑，则其分量$X_i$在任意坐标卡下都光滑。
假设向量场$X$是光滑的，任取$M$的一个坐标卡$(U,\varphi)$，对应的局部坐标为$(x_1,x_2,\cdots,x_m)$。
首先，向量场$X$在$U$上的限制$\left.X\right|_U$也是光滑的。先回顾切丛$TM$的核心结构：
- 投影映射$\pi:TM\rightarrow M$：$\pi(v)=x$当且仅当$v$是点$x$处的切向量（即$v\in T_xM$）；
- 切丛的局部平凡化映射$\Phi:\pi{-1}(U)\rightarrow\varphi(U)\times\mathbb{R}m$：$\Phi(v)=(\varphi(\pi(v)),\bar{\varphi}(v))$，其中$\bar{\varphi}:T_xM\rightarrow\mathbb{R}m$是切空间到$\mathbb{R}m$的线性同构，定义为$\bar{\varphi}(v)=(\varphi\circ\alpha)'(0)$（$\alpha$是满足$\alpha(0)=x$且$\alpha'(0)=v$的光滑曲线）。
向量场的光滑性定义为：局部表示$\Phi\circ X\circ\varphi{-1}:\varphi(U)\rightarrow\varphi(U)\times\mathbb{R}m$是光滑映射。我们展开这个映射的表达式：
对任意$a\in\varphi(U)$，令$x=\varphi^{-1}(a)$（即$\varphi(x)=a$），则：
$$
\begin{align}
\left(\Phi \circ X \circ \varphi^{-1}\right)(a)
&=\Phi\left(X\left(\varphi^{-1}(a)\right)\right)\
&=\Phi(X(x)) = \Phi(X_x) \tag{1} \
&=\left(\varphi\left(\pi(X_x)\right), \bar{\varphi}\left(X_x\right)\right) \
&=\left(\varphi(x), \bar{\varphi}(X_x)\right) = \left(a, \bar{\varphi}(X(x))\right) \
&=\left(a, \bar{\varphi}\left(\left.\sum_{i=1}^{m} X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right|_x\right)\right)
\end{align}
$$
这里用到了局部坐标系下向量场的标准表达：$\left.X\right|U(x)=\sum{i=1}^{m} X_i(x)\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x$，其中$X_i:U\rightarrow\mathbb{R}$就是$X$在该坐标卡下的分量函数。
由于$\bar{\varphi}$是线性映射，我们可以将其分配到求和的每一项：
$$
\begin{align}
\left(\Phi \circ X \circ \varphi^{-1}\right)(a)
&=\left(a, \sum_{i=1}^{m} X_i(x)\bar{\varphi}\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|x\right)\right)
\end{align}
$$
而$\bar{\varphi}\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|x\right)=e_i$（$\mathbb{R}^m$的标准基向量），这个结论后面会详细解释。代入后得到：
$$
\begin{align}
\left(\Phi \circ X \circ \varphi^{-1}\right)(a)
&=\left(a, \sum{i=1}^{m} X_i(x)e_i\right)\
&=\left(a, (X_1(x), X_2(x), \cdots, X_m(x))\right)\
&=\left(a, (X_1(\varphi^{-1}(a)), \cdots, X_m(\varphi^{-1}(a)))\right)\
&=\left(\text{id}{\varphi(U)}(a), (X_1\circ\varphi^{-1}, \cdots, X_m\circ\varphi^{-1})(a)\right)
\end{align}
$$
因此$\Phi\circ X\circ\varphi^{-1}=(\text{id}_{\varphi(U)}, X_1\circ\varphi^{-1}, \cdots, X_m\circ\varphi{-1})$。因为这个映射是光滑的，所以每个分量$X_i\circ\varphi{-1}:\varphi(U)\rightarrow\mathbb{R}$都是光滑函数。又因为$\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow U$是微分同胚（坐标卡的定义），所以复合函数$X_i= (X_i\circ\varphi^{-1})\circ\varphi:U\rightarrow\mathbb{R}$必然也是光滑的。
二、符号与概念疑问解答
你提到的几个困惑点，我逐个拆解：
1. 符号$X_x$是什么意思？
$X_x$就是向量场$X$在点$x\in M$处对应的切向量，也就是$X(x)$，它属于点$x$的切空间$T_xM$。
向量场本质上是切丛$TM$的光滑截面：简单说就是给流形上每个点$x$，指派一个属于该点切空间的向量$X_x$，并且这个指派映射$X:M\rightarrow TM$满足$\pi(X(x))=x$（保证每个点对应的向量确实在它自己的切空间里），而光滑性就是这个指派映射是光滑的。
2. 为什么$\bar{\varphi}\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x\right)=e_i$？
首先回忆$\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x$的定义：它是坐标曲线$\alpha_i(t)=\varphi^{-1}(\varphi(x)+te_i)$在$t=0$处的切向量，也就是$\alpha_i'(0)=\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x$。
现在代入$\bar{\varphi}$的定义：$\bar{\varphi}(v)=(\varphi\circ\alpha)'(0)$（$\alpha$是满足$\alpha(0)=x$且$\alpha'(0)=v$的曲线）。对于$v=\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x$，取$\alpha=\alpha_i$，那么$\varphi\circ\alpha_i(t)=\varphi(x)+te_i$，对$t$求导在$t=0$处得到：
$$(\varphi\circ\alpha_i)'(0)=e_i$$
所以$\bar{\varphi}\left(\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x\right)=e_i$，这是完全符合定义的结果。
另外，$\bar{\varphi}$是切空间$T_xM$到$\mathbb{R}^m$的线性同构，它可以作用在任何切向量上——只是在局部坐标系下，我们把任意切向量都表示成$\left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_x$这些基向量的线性组合，所以只需要知道它对基向量的作用，就能推导它对所有切向量的作用了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者N00BMaster
