关于含1的退化施莱夫利符号{1,n}、{n,1}对应平面图存在性的技术问询

嘿，这个问题抓得很准——退化施莱夫利符号对应的平面图确实是个容易被忽略的边缘场景，咱们结合图论和施莱夫利符号的退化定义来拆解清楚：

首先，先对齐核心逻辑：常规施莱夫利符号${p,q}$要求$p,q≥2$，对应每个面是$p$边形、每个顶点度数为$q$的平面图（有限时对应球面镶嵌）。但当其中一个元素为1时，我们需要从退化结构的图论嵌入角度来分析：

对于${1,n}$（任意$n>0$） #

按照退化施莱夫利符号的逻辑，${1,n}$表示每个“面”是1边形（可直观理解为两个顶点之间的一条边构成的闭合区域），每个顶点周围有$n$个这样的面。对应的图结构是两个顶点之间用$n$条无交叉边连接的多重图——你可以把两个顶点画在平面上，在它们之间画$n$条类似扇形的曲线，完全不会产生交叉，完全符合平面多重图的定义。

你提到的${1,2}$就是这个结构的特例：两个顶点两条边，对应二面体的退化球面镶嵌，这确实是平面多重图。

对于${n,1}$（任意$n>0$） #

${n,1}$则表示每个面是$n$边形，每个顶点周围只有1个面——对应的图结构是单个顶点附带$n$个环边的多重图。你可以在平面上画一个点，在它周围画$n$个不交叉的小环（比如绕点的同心圆片段），完全不会有交叉，也属于平面图范畴。

你提到的${2,1}$就是这个情况的特例：单顶点两条环边，对应单角棱锥的退化球面镶嵌，同样是平面多重图。

关键结论 #

只要我们允许平面多重图（平面图的核心要求是能嵌入平面无交叉，而非必须是简单图），那么对于任意正整数$n>0$，${1,n}$和${n,1}$都存在对应的平面图。这些结构虽然退化，但完全符合图论中平面图的嵌入规则。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1211016