大家好，我目前在处理一条三维分段圆弧闭合曲线的参数化问题，想向各位请教有没有更经典的实现思路，先把曲线的结构和背景说明清楚：

这条闭合曲线记为 $C: \overline{abcda}$，由四个部分组成：

• 三段圆弧：$C_1=ab$、$C_2=bc$、$C_3=cd$
• 一段直线段：$C_4=da$

各段的具体特征如下：

• $C_1$位于平面$P_1$上，半径为r，长度为l；$C_3$位于平面$P_3$上，和$C_1$是全等圆弧（同样半径r、长度l）。平面$P_1$和$P_3$沿直线q相交，且q位于平面$P$上。
• 直线段$C_4$和直线q完全重合，连接了$C_1$的端点a与$C_3$的端点d。
• 圆弧$C_2$半径为R，长度为l₀，连接$C_1$的另一端点b和$C_3$的另一端点c。$C_2$所在的平面$P_2$与$C_1$在b点、$C_3$在c点相切，且整条曲线在各段连接处保持切线连续性。
• $C_2$的圆心位于垂直于$C_4$且经过其中点的直线上。

背景补充 #

这条曲线是用3D设计软件Rhino创建的，其中$C_1$和$C_3$其实是两个全等圆锥上的曲线，两个圆锥分别位于包含$C_2$的切平面$P_2$两侧，$C_2$的圆心对应两个圆锥的一个孤立切点。

附：不含圆锥的曲线示意图，各段连接点以绿色高亮显示。

我的需求 #

常规方案是用Bezier曲线做近似，但我想找更经典的参数化方法——因为圆弧用Bezier曲线的近似效果并不理想，而且我需要用这条曲线来参数化一个可展曲面。我感觉这可能和三维双圆弧的概念有关。

我清楚这条曲线是分段光滑的，全局仅达到$C_1$连续，想问问各位有没有用切线转角或者其他更简洁的方式来参数化这条曲线的思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vishesh