控制收敛定理的巧妙应用及相关极限问题问询

大家好，我最近在研究一个涉及积分极限的问题，想和社区的朋友们探讨一下：

已知 (a>b>0)，(g\in L^{1}([0,1]))，定义函数：
$$f(x):=x^a \int_{0}^{1}e{-x^b y} g(y)dy,\quad x>0.$$

结论：若 (y^{-a/b} g(y) \in L^{1}([0,1]))，则 (\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0)。

我的证明思路： #

令 (F(x):=x^a e^{-xb y})，通过简单的微积分推导可以得到：对每个 (y>0)，有
$$F(x)\leq c^{c} e^{-c} y^{-c},$$
其中 (c={a}/{b})。

由此可得，对任意 (x>0)，有 (|F(x)g(y)|\leq C y^{-c} |g(y)|)（这里 (C) 是常数）。因为控制函数 (y^{-c} |g(y)|) 在 ([0,1]) 上可积，根据控制收敛定理，我们可以交换极限和积分的顺序：
$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=\int_{0}^{1} \lim_{x\rightarrow +\infty} x^a e^{-xb y} g(y)dy= 0$$
这是因为对所有 (y>0)，都有 (\lim_{x\rightarrow +\infty} x^a e^{-xb y}=0)。

我的疑问： #

• (1) 上面的推理过程是否正确？
• (2) 条件 (y^{-a/b} g(y) \in L^{1}([0,1])) 是极限 (\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)) 存在（且有限）的必要条件吗？

补充编辑：@Ninad Munshi 已经指出，当 (a=b) 时，条件 (y^{-1} g(y) \in L^{1}([0,1])) 并不是极限存在且有限的必要条件。不过我更关注 (a>b>0) 的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Medo