定积分等式证明与特定定积分求解咨询

嗨，咱们一步步来解决你的问题：先搞定那个定积分等式的证明，再解决你卡壳的那个特定定积分求解~

一、证明 $\boldsymbol{\int_{a}^{2a}f(x)dx = \int_{0}^{a}f(a+x)dx = \int_{0}^{a}f(2a-x)dx}$ #

这个证明核心用换元法就行，咱们逐个推导：

1. 证明 $\int_{a}^{2a}f(x)dx = \int_{0}^{a}f(a+x)dx$
   令 $t = x - a$，那么 $x = t + a$，当 $x=a$ 时 $t=0$，$x=2a$ 时 $t=a$，$dx = dt$。代入原式：
   $$\int_{a}^{2a}f(x)dx = \int_{0}^{a}f(t+a)dt = \int_{0}^{a}f(a+x)dx$$
   （积分变量只是个符号，换成x不影响结果）

2. 证明 $\int_{a}^{2a}f(x)dx = \int_{0}^{a}f(2a-x)dx$
   这次令 $t = 2a - x$，则 $x = 2a - t$，当 $x=a$ 时 $t=a$，$x=2a$ 时 $t=0$，$dx = -dt$。代入后：
   $$\int_{a}^{2a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(2a-t)(-dt) = \int_{0}^{a}f(2a-t)dt = \int_{0}^{a}f(2a-x)dx$$
   这样三个积分相等的结论就证完啦。

二、求解定积分 $\boldsymbol{\int_{0}^{{2\pi}\frac{x}{2}\sin x}{8+\sin^{2}x}dx}$ #

你尝试拆分积分的思路是对的，但可能在换元后的符号或者展开步骤上出了点小问题，导致得到错误的零结果。正确答案确实是 $\frac{-2\pi^2}{3}\ln 2$，咱们一步步来拆解：

步骤1：拆分区间并换元 #

先把原积分拆成 $[0,\pi]$ 和 $[\pi,2\pi]$ 两个区间的积分：
$$I = \int_{0}^{\pi}\frac{x2\sin x}{8+\sin^2 x}dx + \int_{\pi}^{{2\pi}\frac{x}2\sin x}{8+\sin^2 x}dx$$
对第二个积分做换元 $x = 2\pi - t$，此时 $dx=-dt$，当 $x=\pi$ 时 $t=\pi$，$x=2\pi$ 时 $t=0$；同时 $\sin x = \sin(2\pi-t)=-\sin t$，$\sin^2 x = \sin^2 t$。代入第二个积分：
$$\int_{\pi}^{{2\pi}\frac{x}2\sin x}{8+\sin^2 x}dx = \int_{\pi}^{{0}\frac{(2\pi-t)}2(-\sin t)}{8+\sin^2 t}(-dt) = -\int_{0}^{{\pi}\frac{(2\pi-t)}2\sin t}{8+\sin^2 t}dt$$
把它代回原积分，合并两个子积分：
$$I = \int_{0}^{{\pi}\frac{[x}2 - (2\pi - x)^2]\sin x}{8+\sin^2 x}dx$$

步骤2：展开并化简被积函数 #

展开 $(2\pi - x)^2 = 4\pi^2 -4\pi x +x^2$，所以：
$$x^2 - (2\pi -x)^2 = x^2 - (4\pi^2 -4\pi x +x^2) = 4\pi x -4\pi^2 = 4\pi(x - \pi)$$
代入后原积分变为：
$$I = 4\pi\int_{0}^{\pi}\frac{(x - \pi)\sin x}{8+\sin^2 x}dx$$

步骤3：拆分这个积分并利用对称性处理 #

令 $J = \int_{0}^{\pi}\frac{(x - \pi)\sin x}{8+\sin^2 x}dx$，把它拆成两个积分：
$$J = \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{8+\sin^2 x}dx - \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx$$
对第一个子积分做换元 $x = \pi - t$，则 $dx=-dt$，当 $x=0$ 时 $t=\pi$，$x=\pi$ 时 $t=0$；$\sin x = \sin(\pi-t)=\sin t$，代入得：
$$\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{8+\sin^2 x}dx = \int_{\pi}^{0}\frac{(\pi - t)\sin t}{8+\sin^2 t}(-dt) = \int_{0}^{\pi}\frac{(\pi - t)\sin t}{8+\sin^2 t}dt$$
展开右边：
$$\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi - t)\sin t}{8+\sin^2 t}dt = \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{8+\sin^2 t}dt - \int_{0}^{\pi}\frac{t\sin t}{8+\sin^2 t}dt$$
令 $K = \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{8+\sin^2 x}dx$，那么上式可写成 $K = \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx - K$，移项得 $2K = \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx$，即：
$$K = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx$$
把 $K$ 代回 $J$ 的表达式：
$$J = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx - \pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx = -\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{8+\sin^2 x}dx$$

步骤4：计算剩余的三角函数积分 #

先化简分母：$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，所以 $8+\sin^2 x = 9 - \cos^2 x$。令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=\pi$ 时 $u=-1$，代入积分：
$$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{9 - \cos^2 x}dx = \int_{1}^{-1}\frac{-du}{9 - u^2} = \int_{-1}^{1}\frac{du}{9 - u^2}$$
用分式拆分法：$\frac{1}{9 - u^2} = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3+u} + \frac{1}{3-u}\right)$，积分得：
$$\int_{-1}^{1}\frac{du}{9 - u^2} = \frac{1}{6}\left[\ln|3+u| - \ln|3-u|\right]_{-1}^{1}$$
代入上下限计算：
$$\frac{1}{6}\left[(\ln4 - \ln2) - (\ln2 - \ln4)\right] = \frac{1}{6}(2\ln2) = \frac{\ln2}{3}$$

步骤5：回代得到最终结果 #

先算 $J$：
$$J = -\frac{\pi}{2} \times \frac{\ln2}{3} = -\frac{\pi\ln2}{6}$$
再算原积分 $I$：
$$I = 4\pi \times J = 4\pi \times \left(-\frac{\pi\ln2}{6}\right) = -\frac{2\pi^2\ln2}{3}$$
这就和正确答案一致啦！你用Desmos得到错误结果可能是换元或输入时的小疏漏，按照这个步骤来就能得到正确值~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J_dash