关于通过固定子卡组洗牌实现全卡组均匀随机洗牌的可行性问询

最近碰到一个有意思的洗牌问题：假设我有一副含$n$张牌的卡组，但每次最多只能洗牌组里固定位置的不超过$n-1$张牌——举个例子，当$n=5$时，我可以提前选定位置1、3、4这3张牌，然后把它们随机打乱顺序。这里要注意，选定的位置是提前固定好的（非随机），唯一的随机性来自子卡组内部的洗牌操作。那有没有办法通过一系列这样的子卡组洗牌步骤，最终让整个卡组变成均匀随机的排列呢？

我们可以把这个问题严谨地形式化：对于哪些$n$，存在一系列子集$I_1, I_2, \dots I_m \subsetneq [n]$（每个都是$[n]$的真子集），如果定义$\pi_i$是$[n]$上的均匀随机置换，且固定所有不在$I_i$中的元素，那么复合置换$\pi_1\pi_2\cdots \pi_m$是$[n]$上的均匀随机置换？

一些观察结论 #

• 其实核心思路可以简化：既然我们能洗任意$n-1$张牌的子卡组，那本质上只需要通过这类洗牌操作，把单张牌随机插入到卡组的任意位置就够了。
• 当$n$是质数时，这件事不可能实现：因为每个$\pi_i$的可能取值数量是$|I_i|!$，而$|I_i| < n$，所以$|I_i|!$不是$n$的倍数。那么所有可能的置换组合总数就不是$n!$的倍数（毕竟$n$是质数，$n!$包含$n$这个因子，但每个步骤的可能数都不含$n$因子），这样就没法让$n!$种全排列出现的概率完全相等。
• 对于$n=4$的情况，我写了个简单脚本测试：按顺序对(12)、(13)、(24)这三组位置进行2张牌的交换（每次交换概率1/2，也就是随机洗牌这两张），结果发现牌1被均匀打乱了。再结合前面的思路，一副4张牌的卡组可以先洗3张牌的子卡组，再做三次2张牌的洗牌，就能实现均匀随机洗牌。

那现在的问题是：是不是所有合数大小的卡组，都能通过这种仅用真子卡组的洗牌操作，实现均匀随机洗牌呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者soktinpk