关于长度泛函的驻点是否自动为局部极小值的技术问询

先铺垫一下背景：给定定义在切丛上的拉格朗日量 $L:TM \rightarrow \mathbb{R}$，哈密顿原理告诉我们：一条曲线 $\gamma:[a,b] \rightarrow M$ 是作用泛函 $S[\gamma]:=\int_a^b L(\gamma(t),\gamma'(t)) dt$ 在固定端点变分下的驻点，当且仅当它满足欧拉-拉格朗日方程：
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q'} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

当我们取拉格朗日量为切向量的长度，也就是 $L(q,q')= \sqrt{g(q',q')}$ 时，这个作用泛函就变成了弧长泛函 $S_l[\gamma]:=\int_a^b\sqrt{(g(\gamma'(t), \gamma'(t)))} dt$，对应的欧拉-拉格朗日方程也就成为了测地线方程。

我现在的核心疑问是：长度泛函的驻点是否自动是该泛函在固定端点变分下的局部极小值？

换个更具体的说法：如果 $\gamma$ 是 $S_l$ 的驻点（等价于它满足测地线方程），是否对任意满足固定端点条件的变分 $f:(-\epsilon, \epsilon) \times [a,b] \rightarrow M$（即对所有 $t \in [a,b]$ 有 $f(0,t)=\gamma(t)$，且对所有 $s \in ( -\epsilon, \epsilon)$ 都有 $f(s,a)=\gamma(a)$、$f(s,b) = \gamma(b)$），当 $s$ 足够小时，都能满足：
$$S_l(f(s, \cdot))= \int_a^b \sqrt{g \left(\frac{\partial f}{\partial t}(s,t),\frac{\partial f}{\partial t}(s,t) \right)} dt \geq S_l(f(0, \cdot))=S_l[\gamma]$$

这里需要明确几个容易混淆的概念，避免误解：

• 这和“测地线不一定是连接两点的所有路径中的全局长度极小值”不是同一个问题；
• 也和“测地线在测地球范围内是长度极小化的”这个已知性质有所区别。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MaxMueller